Материал: 2216

Т е о р е м а

3. Если уравнение L y 0 имеет комплексное

решение Re y x u x ,

Jm y x x т.е.

y x u x i x , то

действительная часть u x и

мнимая часть x каждая в

отдельности также являются решениями этого уравнения.

Д о к а з а т е л ь с т в о

L u i 0 по условию, по 30 L u iL 0; L 0.

Определение

1.

Система

функций

y1 x , y2 x , , yn x

линейно зависима

на

отрезке

a,b , если существуют такие

если равенство (*) имеет место, только при 1

2

n 0.

В частности,

две функции y1 x

и

y2 x

линейно зависимы,

y x

1

1

, const 0, и линейно независимы в

противном

y2

x

2

случае.

y1

y2

Определение

2. Выражение W

y , y

называется

1

2

y1

y2

W y1, y2, y3

y1

y2

y3

– Вронскиан для системы из трех

y1

y2

y3

y1

y2

y3

, тогда W y1, y2

y1

y2

y1

y2

0.

y2

y1

y1

y2

y1

y2

отрезке)

дифференциального уравнения

L y 0,

то

Вронскиан

этих функций W 0

ни в одной точке a,b .

Д о к а з а т е л ь с т в о

x0 a,b

Предположим

противное.

Пусть

в

точке

y1 x0

y2 x0

W y , y

2

0, т.е.

0,

но тогда

система двух

1

y1 x0

y2 x0

уравнений с двумя неизвестными C1

и C2

0;

C y x C

2

y

2

x

0

1

1

0

C1y1 x0 C2 y2 x0 0

(**)

т.е. C1 0

и C2 0;

имеет ненулевые решения,

одновременно

следует,

что функция

y C1y1 x0 C2 y2 x0

является решением

y C1y1 C2 y2

,

0

0

//

//

L y C1 L y1 C2 L y2

0,

т.е. функция y C1y1 C2 y2 –

решение

уравнения L y 0.

Остается доказать, что при любых начальных условиях y/x 0

y0

и

y /x 0

y0

определяются

константы C1 и

C2 , т.е любое

решение уравнения L y 0 можно получить из (***).

Действительно, составим

систему

y C1y1

C2 y2

y

C1y1

C2 y2

x x0

y0 C1y1 x0 C2 y2 x0 , а т.к.

y1 x0

y2 x0

W y ,y

2

0

1

y0 C1y1 x0 C2 y2 x0

y1 x0

y2 x0

где y1 x , y2 x , , yn x

– n-линейно независимых частных

решений уравнения (9), т.е. для которых W y1, y2, , yn 0

y1

y2

y3

W y , y

2

, , y

n

y1

y2

y3

0.

1

y1

y2

y3

y C1y1

C2 y2 , причем функции

y1 x и

y2 x могут быть

любыми

частными решениями

уравнения

(1), лишь бы

W y1, y2 0.

Будем искать эти частные решения в виде y e x ,

R,

тогда

y e x; y 2 e x ;

2 e x p e x qe x 0;

2 p q e x 0,

p2

4q 0 .

Уравнение

(1) имеет

два

решения:

y e 1x

;

y2 e 2 x,

1

W y , y

e 1x

e 2 x

e 1xe 2 x

0.

1

2

e 1x

2

e 2 x

2

1

1

Общее решение

y C e 1x C

e 2 x .

(3)

1

2

Пример.

2y 5y 3y 0.

1. Составим характеристическое уравнение:

2 2

5 3 0;

1,2

5

25 24

;

4

1 3; 2

0,5.

2. Запишем общее решение:

y C e3x

C

e 0,5x .

1

2

II случай.

2

p

–

корни действительные и равные

1

2

p2

4q 0 . Имеем всего одно решение уравнения (1): y e 1x .

xe 1x

1

(1).

Можно убедиться, что y2

тоже решение уравнение

W y1, y2

e 1x

xe 1x

e 1x 2 1 1x 1x 0.

e 1x

1

1

x e 2 x

1

y C C

2

x ex .

1

III случай. 1

и

2

корни

комплексные

сопряженные

p2 4q 0 , т.е. 1

i ;

2

i . Имеем два комплексных

решения уравнения (1):

~

e

i x

;

~

e

i x

которые можно

y1

y2

представить

~

i x

e

x

e

i x

e

x

cos x isin x , где 0;

y1 e

~

x

cos x isin x .

y2

e

~

~

По теореме 3

решениями уравнения (1)

будут

Re y1

Re y2;

W y , y

e x cos x e x sin x

1

2

e x cos x e x sin x e x

sin x e x cos x

e 1x 2

cos x sin x

e 1x 2

0.

cos x sin x sin x cos x