Материал: 2216

Пример.

y 2y 10y 0.

1.2 2 10 0; 1,2 1 9 1 3i; 1; 3.

2.Общее решение:

y1ex sin3x – частное решение. 3

Обобщения. Совершенно аналогично находится общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений n- го порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнений

yn p1 y n 1 p2 y n 2 pn 1y pn y 0, (1*)

здесь pi const , т.е. pi R. Для этого:

1) составляем характеристическое уравнение

n p1 n 1 p2 n 2 pn 1 pn 0; (2*)

2)решая его, находим n-корней;

3)по характеру корней выписываем частные линейно независимые решения:

а) любому однократному корню соответствует решение

e x ;

б) любому r-кратному корню соответствует r-линейно

независимых решений e x,xe x, ,xr 1e x ;

r

в) любой паре однократных комплексных сопряженных корней 1 i и 2 i соответствуют два решения

e x cos x и e x sin x;

г) любой r-кратной паре комплексных сопряженных корней1 i соответствуют 2r-линейно независимых решений:

e x cos x, e x sin x, xe x cos x, xe x sin x, x2e x cos x,

x2e x sin x, xr 1e x cos x, xr 1e x sin x.

В общей сложности мы получаем n линейно независимых решений y1, y2, , yn, и общее решения уравнения (1*) записываем в виде

y C1y1 C2 y2 Cn yn .

Примеры.

2.yV yIV y y 0.

5 4 1 0; 1 2 1 2 1 0;

1 2 1; 3 1; 4,5 0 1 i; ex,xex,e x,eox cosx,eox sinx.

y C1ex C2xex C3e x C4 cosx C5 sin x– общее уравнение.

Лекция № 6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Будем рассматривать уравнения вида y py qy f x

или

(1)

L y f x ,

где f x – данная функция, p,q R.

Покажем, что общее решение уравнения (1) можно представить в виде

y y y*,

(2)

где y общее решение однородного уравнения L y 0; y* какое-нибудь (любое) частное решение уравнения (1).

Частное решение y* обычно находят, ориентируясь на вид функции f x , методом неопределенных коэффициентов.

Действительно,

20

L y y* L y L y* 0 f x ; L y y* f x .

Функция (2) является решением зависит от двух

y* x Acos x Bsin x .

Примеры.

I. y 2y 3y 3x 1. Общее решение y y y*.

1) Находим общее решение однородного уравнения y:

2A 3 Ax B 3x 1;

3Ax 2A 3B 3x 1;

Итак, y* x 1.

2) Находим y* Acos2x Bsin 2x x;

y* Acos2x Bsin 2x 2xBcos2x 2xAsin 2x

A 2Bx cos2x B 2Ax sin 2x.

y* 2Bcos2x A 2Bx 2sin 2x 2Asin 2x 2 B 2Ax cos2x

4B 4Ax cos2x 4A 4Bx sin x 4Axcos2x 4Bxsin 2x 3sin 2x

.

З а м е ч а н и е. 2. Если правая часть неоднородного уравнения представляет сумму двух или нескольких функций, т.е.

y py qy f1 x f2 x ,

то общее решение имеет вид

y y y1 * y2 *,

где y общее решение однородного уравнения L y 0,

y1 * частное решение уравненияL y f1 x , y2 * частное решение уравнения L y f2 x .

Действительно,

L y y1 * y2 * L y L y1 * L y2 * 0 f1 x f2 x ,

что и доказывает наше утверждение.

Пример.

y 2y 3y 2e3x cosx, найдем общее решение в виде

y y y1 * y2 *.

1) Находим y:

y1* 3Ae3x 3 A Ax e3x 6A 9Ax e3x .

6A 9Ax 2A 6Ax 3Ax e3x 2e3x ;

4A 2; A 1 ; y1* 1 xe3x

2 2

3) Находим:

y2* Acosx Bsinx;

y2* Asinx Bcosx; y2* Acos x Bsinx;

Acos x Bsinx 2Asinx 2Bcos x 3Acos x 3Bsinx cos x;4A 2B cos x 4B 2A sin x cosx;

A 2B 0

4A 2B 1;

5A 1

A 1 0,2;

5

B 0,1.

Общее решение