Материал: 2216

уравнения:

Ln y 0.

(3)

Известно, что общее решение уравнения (1) равно сумме общего решения уравнения (3) и какого-нибудь решения уравнения (1). Решение неоднородного уравнения (1) можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение однородного уравнение (3). Уясним этот метод на примере уравнения третьего порядка.

Итак, пусть задано линейное уравнение третьего порядка y p2 y p1y p0 y f x .

(4)

Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения есть

y C1y1 x C2 y2 x C3y3 x ,

(5)

где y1, y2, y3 линейно независимые решения уравнения (3)

L yi 0; i 1,2,3 .

Будем искать частное решение неоднородного уравнения (4) в

функции, которые надо найти. Наложим на искомые функции Ci x два условия:

Тогда будет:

0

//

i 1

Но выражения в скобках в левой части этого равенства равны нулю, поэтому

3

Ci yi f x .

i 1

(7)

Таким образом, из уравнений (6) и (7) получим систему

i 1

3 C y f x ,

i i

i 1

(8)

относительно неизвестных C1 , C2 , C3 с определителем 0, потому что это есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений y1, y2, y3, играющих роль коэффициентов. Поэтому данная система имеет единственное решение

Ci x i x i 1,2,3 ,

где i непрерывные на a,b функции. Откуда

Ci x i x dx.

(9)

При этом функции Ci x имеют на a,b непрерывную производную частное решение неоднородного уравнения (1) имеет вид

y C1y1 x C2 y2 x C3y3 x ,

где функции Ci x определения равенствами (9).

Пример.

y 3y 2y e3x.

R2 k k2 3k 2 0; k1 1; k2 2.

Следовательно, общее решение однородного уравнения y C1ex C2e2x .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных C1 и C2 . Составим систему:

Решая систему, имеем C1 x e2x; C2 x ex.

как

y1 e2xex exe2x 1 e3x .

2 2

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет

вид

y C1ex C2e2x 1 e3x .

2

Лекция №7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Определение 1. Система уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных от искомых функций

xi fi t,x1,x2, ,xn ,i 1,2, ,n,

(1)

называется нормальной.

Определение 2. Решением нормальной системы (1) на a,b изменения аргумента t называется всякая система n функций

x1 x1 t , x2 x2 t , , xn xn t ,

(2)

дифференцируемых на интервале a t b, обращающая уравнения системы (1) в тождество.

Задача Коши для системы (1) формулируется так: найти решение системы (2), удовлетворяющее при t t0 начальным условиям:

x1 /t t0 x10, x2 /t t0 x20, ,xn /t t0 xn0 .

(3)

Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

dxi fi t,x1,x2, ,xn ,i 1,2, ,n, dt

(4)

непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным x1,x2, ,xn, то найдется интервал t t0 h0;t0 h0 , на котором существует единственное решение нормальной системы (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).

Интегрирование нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод исключения продемонстрируем на примере:

x1 x2 x3;x2 x1 x3;

x3 x1 x2.

Продифференцируем по t обе части первого уравнения системы x2 и x3 вместо подставим их выражения через x1,x2,x3.

x1 x2 x3 2x1 x2 x3.

(5)

Дифференцируем равенство (5) и подставим вместо x1,x2,x3 их выражения через x1,x2,x3.

Получим

x1 x2 x3.

(6)

Выразим из первого уравнения системы и уравнения (5)x2 и

x3:

(7)

и подставим их в уравнение (6).