Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

бесконечным верхним пределом.

f (x) непрерывна при −∞<

x ≤ b , то по

Аналогично, если функция

определению

∫b f (x)dx = alim→−∞ ∫b

f (x)dx .

(2.36)

−∞

a

−1 dx

−1

−2

x−1

−1

1

−1

По формуле (2.36) ∫

∫

x

dx

=

−

=

2

= alim→−∞

alim→−∞

−1

a

= alim→−∞

x

a

−∞ x

а

1

=1 + 0 =1. Делаем вывод, что интеграл сходится и равен 1:

= lim 1 +

a

a→−∞

−∫1 dx2 =1.

−∞ x

Если

функция f (x) непрерывна

на всей числовой оси, то можно

рассмотреть

несобственный интеграл

∞∫ f (x)dx . Для его определения

−∞

∞∫ f (x)dx = ∫c

f (x)dx + +∞∫ f (x)dx .

(2.37)

−∞

−∞

c

Если независимо от выбора c оба несобственных интеграла, стоящие в

правой части равенства (2.37), сходящиеся, то

∞∫ f (x)dx сходится и равен их

−∞

несобственный интеграл

+∞∫ f (x)dx

представляет собой

площадь

a

криволинейной фигуры, ограниченной графиком функции y = f (x), осью Ox

и прямой x = a (рис. 2.31).

Здесь фигура

не

ограничена

справа

никакой

вертикальной

прямой.

Приведем несколько примеров

вычисления

несобственных

интегралов и дадим геометрическую

Рис. 2.31

+∞ dx

интерпретацию некоторых из них.

Пример 2.24.

Найти

или сделать вывод о его расходимости

∫0 1+ x2

1

(здесь подынтегральная функция f (x)=

).

1+ x2

b

+∞ dx

b

dx

π

π

∫

2 = blim→+∞

∫

1+ x

2 = blim→+∞ arctgx

blim→+∞(arctgb − arctg0)=

2

− 0 =

2

0 1+ x

0

0

(рис.

2.32,

поясняет,

почему

lim arctgb = π ). Данный

несобственный

b→+∞

2

интеграл сходится, а площадь S (рис. 2.33) конечна ( S = π

кв. ед.).

2

Рис. 2.32

Рис. 2.33

+∞1

b

dx

b

= blim→+∞(lnb − ln1)=

∫

dx = blim→+∞

∫

= blim→+∞ ln x

1

1 x

1

x

= lim ln b = +∞.

b→+∞

Таким образом, данный интеграл расходится,

а изображенная на рис.

2.34 площадь S1 –

бесконечна ( S1

= +∞).

Рис. 2.34

Пример 2.26 Найти

+∞dx

или доказать его расходимость.

∫1 x2

1

Сделаем рис. 2.35, на котором изобразим графики функций

y =

и

x2

y = 1 .

x

1

Мы видим, что функция

y =

x2

убывает быстрее,

чем

y =

1 . Из рис.

x

S ,

2.35 видно, что площадь

ограниченная

сверху

кривой

y =

1

,

x2

будет меньше, чем соответствующая

Рис. 2.35

площадь,

ограниченная кривой y =

1 .

1

x

Выясним, будет ли эта площадь конечной, то есть будет ли сходиться +∞∫

dx .

2

По формуле (2.35)

1

x

dx

b

+∞ 1

dx = lim

b

1

1

1

1

∫

∫

2

= lim

−

= lim

−

− −

= lim

−

+1

=1.

2

x

b→+∞

x

b→+∞

x

1

b→+∞

b

1

b→+∞

b

1

1

Таким образом,

+∞∫

1

dx - сходится, а площадь S - конечна ( S = 1 кв.ед.).

2

1

x

Пример

2.27.

Вычислить

несобственный

интеграл

+∞∫cos xdx

или

установить его расходимость.

0

b

+∞∫cos xdx = lim sin x

= lim(sin b −sin 0)= lim sin b.

0

b→+∞

0

b→+∞

b→+∞

Этот

предел

не

существует

(sin x

при

x → +∞ не

стремится

к

признаками сравнения.

x [a,+∞)

Теорема (Первый признак сравнения.) :

Если для всех

+∞

(x)dx сходится, то

+∞

f (x)dx

выполняются неравенства 0 ≤ f (x)≤ϕ(x) и ∫ϕ

∫

a

a

+∞

+∞

∫

f (x)dx ≤ ∫ϕ(x)dx .

1

Заметим, что

∫e−x2 dx

относится к числу так называемых «неберущихся».

Воспользуемся

первым

b

признаком

сравнения.

Найдем

+∞

−x

dx = lim

b

−x

= lim(−e

−x

)

= lim(−e

−b

+e

−1

)=

1

. Так

как

при x ≥1

∫e

∫e

dx

1

e

1

b→+∞

1

b→+∞

b→+∞

выполняется неравенство e−x2

≤ e−x , то +∞∫e−x2 dx тоже сходится и его значение

1 .

1

меньше, чем

e

Теорема

(Второй

признак

сравнения).

Если

для

всех

x ( x ≥ a )

+∞

выполняется неравенство

0 ≤ϕ(x)≤ f (x), причем

∫ϕ(x)dx

- расходится, то

Заметим,

что

x +1

>

x

=

1

>

0, при

x [1,+∞). Так

как

x3

x3

x

+∞ dx

b −

1

b

= blim→+∞ (2

b − 2)= +∞,

2

∫

x

т.е. расходится,

то из

x

= blim→+∞

∫x

dx

=

blim→+∞ 2

1

1

x

1

1

неравенства

+1

>

по

второму

признаку сравнения следует,

что

x3

x

2.2.2. Несобственные интегралы II рода

Пусть функция y = f (x)

непрерывна

в

полузамкнутом интервале [a,b),

а

lim f (x)

не

x→b−0

x существует или равен бесконечности,

рис. 2.36.

а

с b

Рис. 2.36

Для любой точки с (a,b) существует ∫c

f (x)dx , зависящий от c . Устремим c

a

расходится. Например, рассмотрим

∫0 dx

. Здесь f (x)=

1 , она непрерывна при

−2

x

x

x [− 2,0), а lim

1

= ∞. Значит,

∫0 dx

–

это несобственный интеграл II рода.

x→0

x

−2 x

0

dx

c

dx

c

По формуле (2.38) ∫

x

= limc→−0

∫

x

= limc→−0 ln

x

− 2

= limc→−0(ln

c

− ln 2)= −∞. Это

−2

−2

b

b

∫ f (x)dx = clim→a+0

∫ f (x)dx .

(2.39)

a

c

рассмотрим ∫5

dx

.

Здесь

f (x)=

1

непрерывна

при x (1,5]

и

x −1

x −1

1

1

dx

lim

= +∞. Поэтому ∫5

– это несобственный интеграл II рода. По

x→1+0

x −1

1

x −1

формуле (2.39):

5

5

dx

5

−1

1

= lim

(x −1)

2 dx = lim

2(x −1)2

= lim(4 − 2

c −1)= 4 − 0 = 4

,

1

x −1

∫

c→1+0

∫

c

→1+0

c→1+0

т.е. несобственный интеграл сходится и равен 4.

Если функция y = f (x)

непрерывна во всех точках отрезка [a,b] кроме

точки

x0 (a,b),

являющейся точкой

разрыва II рода (хотя бы один из

односторонних

пределов

функции

f (x) в

этой точке бесконечен или

не