Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Подставляя найденные значения в искомый криволинейный интеграл,

обращающиеся в нуль одновременно) при t [t1,t2 ], то для непрерывной на L функции f (x, y)

Формулу (3.60) можно получить из (3.58) или (3.59), если учесть, как вычисляется производная функции, заданной параметрически.

126

Замечание. Если в формуле (3.53) взять f(x,y)=1, то интегральная сумма (3.52) равна l, для любого разбиения дуги L, где l - длина дуги L. Тогда из

(3.53) следует, что l = ∫dl . Из последнего равенства, с учетом (3.58) и (3.60),

L

сразу получаются формулы (2.25) и (2.27) для вычисления длины дуги, приведенные в главе 2.

3.3.3 Механические приложения криволинейного интеграла I рода

Одно из механических приложений было рассмотрено ранее – с помощью криволинейного интеграла по дуге по формуле (3.51′) вычислялась масса неоднородной линии

127

=4321 (145145 −1)≈ 4,04 (ед. массы).

Спомощью криволинейного интеграла I рода для материальной дуги

можно найти статические моменты M x , M y , моменты инерции J x , J y и координаты центра масс xc , yc . Для нахождения моментов используются

соображения, аналогичные тем, какие были использованы при отыскании моментов плоской пластинки. Рассмотрим, например, задачу о вычислении статического момента дуги L , имеющей плотность ρ(x, y), относительно оси

Ox , т.е. задачу об отыскании M x . Учитываем, что для точечной массы m, расположенной на плоскости в точке (x, y), статический момент M x = m y .

m1 = ρ(P1 )∆l1, ,mn = ρ(Pn )∆ln . Если разбиение достаточно мелкое, то можно

считать, что каждая часть дуги – это материальная точка. Приближенно вместо дуги имеем систему n материальных точек, расположенных в точках P1, ,Pn , массы которых равны m1, ,mn соответственно. Статический

момент i -й точки относительно Ox равен M xi = mi yi = ρ(Pi )∆li yi ; (xi ; yi ) - координаты точки Pi (i =1, ,n ).

Как известно, момент системы точек равен сумме моментов этих точек, т.е. момент относительно оси Ox системы построенных нами точек равен

128

∑n yi ρ(xi , yi )∆li . i=1

Так как система этих точек приближенно описывает линию L, то можно считать, что искомый момент

Чем мельче разбиение дуги AB , тем точнее это приближенное равенство.

Если неограниченно измельчать разбиение AB , вычисляя приближенно для каждого разбиения значение M x по формуле (3.61), то последовательность

приближенных значений будет стремиться к числу, которое можно считать равным M x . Иными словами,

n

M x = limn ∑yi ρ(xi , yi )∆li .

→∞ i=1 max ∆li →0

1≤i≤n

Т.к. yi ρ(xi , yi )= f (Pi ), где f (x, y)= yρ(x, y), то сумма, стоящая под знаком

предела, имеет вид Sn = ∑n f (Pi )∆li , т.е. является интегральной для функции

i=1

f (x, y)= yρ(x, y),(см. формулу (3.52)). Так как предел последовательности

Значения m , M x , M y можно найти по формулам (3.51′), (3.63), (3.64). Формулы упрощаются, если линия однородна, т.е. ρ(x, y)= ρ = const .

Тогда

129

Пример 3.19. Найти центр масс однородной ломаной, состоящей из двух звеньев длины a и b, расположенных под прямым углом.

Расположим ломаную в системе

y

координат xOy так, чтобы было удобно

g(x)= 0 , g′(x)= 0 , 1 + (g′(x))2 =1, и в подынтегральную функцию вместо y подставляем 0. Получим

На отрезке OB x = 0 и y [0,b], поэтому криволинейные интегралы по OB удобно искать по формуле (3.59), где пределы интегрирования 0 и b, h(y)= 0 ,

подставляем 0. Получим

130