Материал: Математика. вводный курс . учебное пособие для иностранных граждан слушателей подготовительного отделения. Некрасова Н.Н., Горяйнов В.В
N 
Z 
Q 
R
N Z Q R
Множество
иррациональных
чисел
Рис. 11. Схематическое изображение множества рациональных чисел
|
Слова для запоминания |
Иррациональное число |
Показатель, основание |
Показатель степени |
Квадрат (в квадрате) |
Степень |
Куб (в кубе) |
Возведение в степень |
Корень (знак корня) |
Раздел II. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ
Тема 1. Действия над многочленами
Одночлен – это алгебраическое выражение, которое содержит два действия: умножение и возведение в степень с натуральным показателем.
2a; b2 ; |
3abc; 4a3 ; x2 y5 – это одночлены. |
6a2b2c ‒ |
это одночлен, где a2b2c – буквенные выражения одночлена; |
6 – числовой коэффициент.
Степень одночлена – эта сумма степеней букв:
2 – одночлен степени 0 (нуль);
3a – одночлен степени 1 (первой); 3а2 – одночлен степени 2 (второй);
4abc – одночлен степени 3 (третьей: 1+1+1=3); 5a2bc3 – одночлен степени 6 (шестой: 2+1+3=6).
Многочлен – это алгебраическая сумма одночленов.
Степень многочлена – это наибольшая степень одночлена:
5x3 y 3x2 y 2xy x – многочлен, содержит четыре одночлена.
Степень многочлена 5x3 y 3x2 y 2xy x равна 4 (четырем); степень
66
многочлена |
14x3 2x2 7x 5 равна 3 (трем). |
|
|
||
Действиями над многочленами называются следующие действия: |
|||||
1. |
Приведение |
подобных |
членов, |
например, |
многочлен |
4x2 y 3xy2 x2 y 8xy2 5 |
имеет подобные одночлены: (4x2 y) |
и ( x2 y) ; |
|||
( 3xy2 ) и ( 8xy2 ) . Можно привести подобные члены, тогда получим |
|
||||
4x2 y 3xy2 x2 y 8xy2 5 (4x2 y x2 y) (3x2 y 8xy2 ) 5=
=4 1 x2 y 3+8 xy2 5 3x2 y 11xy2 5.
2.Сложение и вычитание, например,
а) (8x2 yz 3mn) (4mn – x2 yz 1) 8x2 yz 3mn 4mn x2 yz 17x2 yz 7mn 1;
б) 4a2 3ab 4b2 4b2 b2 2ab 4a2 3ab 4b2 4b2 b2 2ab
4a2 5ab 9b2 .
3. Умножение, например,
5a b 3a2 2a 3b 5a·3a2 5a·2a 5a·3b b·3a2 b·2a b·3b
15a3 10a2 15ab 3a2b 2ab 3b2 15a3 10a2 17ab 3a2b 3b2 .
4. Деление (деление уголком):
а) деление без остатка
5a3 14a2 10a 4 |
a2 |
4a 2 |
|
a 2 |
|||
|
|
||
_ 5a3 14a2 10a 4 |
a 2 |
||
5a2 4a 2
5a3 14a2
_ 4a2 10a
4a2 8a
_ 2a 4 2a 4
0
67
б) деление с остатком
|
x3 2x2 3x 4 |
x2 |
|
5x 18 |
58 |
|
||||
|
|
|
x 3 |
|
|
x 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
_ x3 2x2 3x 4 |
|
x 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5x 18 |
|
|
||
|
x3 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
_ |
5x2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
15x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_18x 4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
18x 54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
|
|
|
|
|
|
–58 – остаток; x2 |
5x 18 – целая часть или частное. |
|||||||||
УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
52. Привести подобные члены:
|
1) 3a2 4a2 5a2 3a2 3a2 ; |
4) xy 4ab 3xy ab 2xy; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) |
m2 n 4m2 3n 2m2 ; |
5) |
|
|
abc 1 2b2 |
3abc a 4b2 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
3) p3q q3 p 4p3q q3 p 3p2q; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
53. Выполнить умножение и деление многочленов: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1) (2a 3b)· a b ; |
|
|
|
|
|
|
9) 2x 3b · 4x b ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
|
xy 1 · |
2y |
3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
10) |
|
|
3a |
b · 4a2 |
2a 1 ; |
|
||||||||||||
3) (a 1)·(a 1)·(a 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
11) |
|
a2 1 · a2 1 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4) |
|
|
2x2 |
2x 12 : x 3 ; |
|
|
12) 32a2 |
16a 6 : 4a 3 ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
|
|
6a2 |
7a 5 |
|
: |
|
|
3a 5 |
|
; |
|
|
13) |
|
|
x3 |
|
2x2 |
2x 1 : |
|
x |
1 ; |
|||||||||
6) |
|
|
2a2 |
|
3a 3ab 6b 2 : a 2 ; |
14) |
x3 |
3x2 |
6x 6 : x 2 ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
|
x3 |
|
6x2 +11x |
6) : |
|
x |
2 |
|
; |
15) |
|
|
x2 y |
1 · xy |
2 2 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
8) x4 2x3 13x2 14x 24 : x 4 ;
68
1.1.Формулы сокращенного умножения
I.Квадрат суммы и квадрат разности двух чисел:
(a b)2 a2 + 2ab b2 и |
(a b)2 a2 2ab b2 , |
т.е. квадрат суммы (разности) двух чисел равен квадрату первого числа (a2 ) плюс (минус) удвоенное произведение первого на второе 2ab , плюс квадрат второго числа b2 .
1. |
Выполнить действия: |
a) x 3y 2 x2 2 x·3y 3y 2 x2 6xy 9y2 ; |
|
б) 2x 3y 2 2x 2 2 2x·3y 3y 2 4x2 12xy 9y2 ; |
|
в) |
3m5 4n2 2 3m5 2 2 3m5·4n2 4n2 2 9m10 24m5n2 16n4 . |
2. |
Представить в виде квадрата двучлена следующие трехчлены: |
а) x2 2x 1 x 2 2 x·1 1 2 x 1 2 ; |
|
б) m2 4mn 4n2 m 2 2 m·2n 2n 2 = m 2n 2 ; |
|
в) 25x2 20xy 4y2 5x 2 2 5x·2y 2y 2 5x 2y 2 . |
|
II. Куб суммы и куб разности двух чисел: |
|
|
(a b)3 a3 + 3a2b 3ab2 b3 и (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 , |
т.е. куб суммы (разности) двух чисел равен кубу первого числа (a3 ) , плюс (минус) утроенное произведение квадрата первого числа на второе ( 3a2b) , плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго (3ab2 ) , плюс (минус) куб второго числа ( b3 ) .
Выполнить действия:
a 2b 3 a3 3a2·2b 3a· 2b 2 2b 3 a3 6a2b 12ab2 8b3 ;
5a b 3 5a 3 3 5a 2·b 3 5a· b 2 b3 125a3 75a2b 15ab2 b3 ;
2a 3b 3 2a 3 3 2a 2· 3b 3 2a· 3b 2 3b 3 8a3 36a2b 54ab2 27b3.
III. Разность квадратов двух членов:
a2 b2 (a b)(a b),
69
т.е. разность квадратов двух чисел равно произведению суммы чисел на их разность.
Выполнить действия:
2a 3 2a – 3 2a 2 – 32 4a2 – 9 ;
m3 – n5 m3 n5 m3 2 – n5 2 m6 n10 ;
3m2 – 5n2 3m2 5n5 3m2 2 – 5n2 2 9m4 – 25n4 .
IV. Сумма и разность кубов двух чисел:
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) и a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ),
т.е. сумма (разность) кубов равна произведению суммы (разности) этих чисел, на неполный квадрат разности (суммы) этих чисел.
Выполнить действия: |
|
x y x2 – xy y2 |
x3 y3 ; |
x 3 x2 – 3x 9 |
x3 27 ; |
(2x – 3)(4x2 6x 9) (2x)3 |
– 33 8x3 – 27 . |
УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
54. Используя формулы сокращенного умножения, вычислить:
1) 29·31; |
2) 7,2·6,8; |
|
|
3) 352 – 252 ; |
4)19,9·20,1; |
5) 642 – 362 ; |
|
6) 372 – 232 ; |
7) 4,02·3,98; |
|
8) 33·27; |
9)15,2·14,8 |
10) 862 142. |
||
1.2. Выделение полного квадрата из квадратного трехчлена |
|||||||
Многочлен ax2 bx c |
|
называют квадратным трехчленом. |
|||||
Если коэффициент |
a 1, |
квадратный |
трехчлен |
x2 bx c называют |
|||
приведенным; |
если a 1, |
то |
ax2 bx c |
– не приведенный квадратный |
|||
трехчлен. |
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
формулу |
сокращенного умножения |
(a b)2 |
a2 + 2ab b2 , |
|||
квадратный трехчлен представим в виде:
70