Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

определенным	интегралом от				функции			y	f x на отрезке
			b
a, b и обозначается			f	x dx . Таким образом,
			a
			b				n
			f	x dx	lim		f	k	xk .
			a		n	k	1
			a			k	1
Числа a	и b	называются нижним и верхним пределами
интегрирования,		f	x	-подынтегральной функцией, x -
переменной	интегрирования,						отрезок		a, b -областью
(отрезком) интегрирования.
Функция y		f	x ,	для которой существует определѐнный
интеграл на отрезке			a, b , называется интегрируемой на этом

отрезке.

На вопрос о существовании определенного интеграла

дает ответ теорема Коши.
Теорема Коши: Если функция y		f	x непрерывная на
отрезке a, b , то она	интегрируема	на	этом отрезке (без
доказательства).
Таким образом,	непрерывность		функции является

достаточным условием интегрируемости функции. Среди разрывных функций могут быть как интегрируемые, так и не интегрируемые функции.

В частности, можно доказать, что для всякой ограниченной на отрезке a, b функции, имеющей на нѐм

конечное число точек разрыва, существует определѐнный интеграл.

3.2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке a, b задана непрерывная функция

y f x 0 . Фигура, ограниченная сверху графиком y f	x ,
снизу осью Ox , с боков двумя вертикальными прямыми x	a

и x b ,	называется криволинейной	трапецией.	Найдѐм
площадь этой фигуры.
Для	этого разобьѐм отрезок	a, b на n	частей

произвольным образом. Обозначим длину частичных отрезков x1 x1 x0 , x2 x2 x1 , ... xn xn xn 1 . В каждом из частичных отрезков выберем произвольную внутреннюю точку

k	xk	k	xk 1	(k=1,…, n ). Вычислим значение функции f(x)
в	этих	точках:		f ( k ) (k=1,… n ). Через точки деления
x1	, x2 ,..., xn 1		проведем прямые, параллельные оси Oy . Каждую

часть криволинейной трапеции, расположенную между вертикальными прямыми, заменим прямоугольником с тем же

самым основанием xk и высотой f(	k ) (k=1,… n ). Площадь
каждого прямоугольника равна f ( k )	xk .

При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой (рис. 5), площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:

Sn	f 0 x0 f 1 x1 ... f k xk ... f n 1 xn 1 =

f k xk .

k 1

y f x

					n 1	x
			3

	1	2
a x0 x1		x2	x3	xn 1	b x
O					n
O			Рис.5.
			Рис.5.

x1 , ... xn

xn 1 .

max xk

Площадь Sn ступенчатой фигуры является лишь

приближѐнным значением искомой площади криволинейной трапеции. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичных отрезков и больше их число. Способ разбиения отрезка на n частей при n , если длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, т.е.

0 , называется способом равномерного измельчения.

При равномерном измельчении отрезка a, b . ломаная линия будет теснее примыкать к кривой y f (x) , а точность

приближения площади криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры будет возрастать.

За точное значение площади криволинейной трапеции

принимают предел, к		которому стремиться Sn при
равномерном измельчении отрезка				a, b	(если такой предел
существует):
			n		b
S lim Sn	lim		f (	k ) xk	f x dx .
n	n	k	1		a
		k	1		a

Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, в чем и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

			3.3. Работа переменной силы
	Пусть	материальная точка M		перемещается	под
действием силы F			по оси Ox . Сила F	действует вдоль оси
Ox	и является функцией координаты			x . Найдем работу A
силы F x		по перемещению точки M вдоль оси Ox от точки
x	a до точки x		b . Для этого разобьѐм отрезок a, b		на n

частей произвольным образом. Обозначим длину частичных отрезков x1 x1 x0 , x2 x2 xn В

каждом из частичных отрезков выберем произвольную внутреннюю точку k

xk	k	xk 1	(k=1,…, n ).
Вычислим значение силы в каждой точке				k :
F1 f	1 , F2	f (	2 ), ... Fn f (	n ) .

Если разбиение достаточно мелкое, то сила Fk незначительно меняется на элементарном отрезке xk 1 , xk и может приближенно считаться на этом отрезке постоянной. В

этом	случае		элементарная				работа		на	частичном отрезке
xk 1 , xk		равна		Ak	f ( k )		xk . Тогда работа силы при
перемещении вдоль всего отрезка								a, b	примерно равна сумме
элементарных работ:
						n
				An			f (	k ) xk .
						k 1
	Точное значение работы А определяется как предел An ,
при	n	,	если	измельчение				отрезка		a, b	производится
равномерным образом:
						n
				A	lim		f ( k )		xk	,
					n	k	1
						k	1
										b
что и соответствует определенному интегралу											F x dx .
										a
	Таким		образом,		физический				смысл		определенного

интеграла –это работа переменной силы F x , действующей на материальную точку M на отрезке a, b .

3.4.Свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определѐнного интеграла:

			b		b
				Af (x)dx A f (x)dx .
			a		a
Доказательство:
b			n				n	b
Af (x)dx	lim		Af (	k ) xk	A lim		f ( k ) xk	A f (x)dx.
a	n	k	1		n	k	1	a
a		k	1			k	1	a

2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на a, b , то

интегрируема на этом отрезке и сумма данных функций, т.е. определѐнный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

			b				b	b
			f ( x)	g( x) dx			f (x)dx	g(x)dx .
			a				a	a
	Доказательство:
	b				n
		f (x)	g(x) dx	lim		f (	k ) g( k )	xk
	a			n	k	1
	a				k	1
		n	n				b	b
lim		f (	k ) xk	g( k )		xk	f (x)dx	g(x)dx .
n	k	1	k 1				a	a
	k	1	k 1				a	a

Свойство 2 распространяется на любое конечное число слагаемых. Следует отметить, что свойства 1 и 2 выделяются, образуя свойство линейности операции интегрирования:

b	b	b
	Af (x) Bg(x) dx A f (x)dx B g(x)dx .
a	a	a
b	a

3.f (x)dx f (x)dx .

Доказательство свойства становится очевидным, если учесть то, что при назначении нового порядка разбиения

Источник: https://studfile.net/preview/16563680/

Смотрите также:

4853
Оценка устойчивости наземных телекоммуникационных сетей связи
Правовая семья и правовая система
Правовой режим дотаций из федерального бюджета
Проектная деятельность как средство формирования регулятивных универсальных учебных действий у младших школьников