Материал: Теоретическая механика

46

пательного движения.

Рис. 2.3

Для точек A и B выполняется векторное равенство: rB = rA + AB . Дифференцируя его, получаем:

При поступательном движение твердого тела траектории всех точек одинаковы, скорости всех точек равны и ускорения также равны.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Это такое движение, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или неизменно с ним связанные, остаются неподвижными.

47

Ось, проходящая через две неподвижные точки, неподвижна и на-

зывается осью вращения твердого тела. На рис. 2.4 ось вращения Oz.

На рис. 2.5 показано сечение вращающегося тела, проходящее через точку M перпендикулярно оси вращения Oz.

Положение тела в пространстве определяется углом поворота ϕ (рис.

2.5).

Закон вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси:

ϕ = f (t) , t0 £ t £ tk

Кинематические характеристики движения тела:

Векторы угловой скорости и углового ускорения ω и ε .

Эти векторы лежат на оси Oz и направлены так, что проекция на ось

Oz:

прozω = ω и прozε = ε (рис. 2.4).

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка движется по окружности, радиус которой равен расстоянию r от этой точки до оси вращения (рис. 2.5).

Скорости и ускорения точки определяют по формулам:

VM = ω ×OM

aM = aMτ + aMn

aMτ = ε ×OM

вой скорости ω и углового ускорения ε соответственно. На рис. 2.4 и рис. 2.5 показан случай, когда ω и ε положительны.

Вектор скорости точки М можно определить по формуле Эйлера:

VM = ω ´OM

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой (Сферическое движение).

Это такое движение, при котором одна точка, принадлежащая телу или неизменно с ним связанная, остается неподвижной (рис. 2.6).

Так как каждая точка тела движется по некоторой сферической поверхности, такое движение тела называют также сферическим.

В каждый момент времени при движении твёрдого тела с одной неподвижной точкой существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку. Вдоль этой оси направлен вектор мгновенной угловой ско-

48

рости ω .

Общий случай движения твердого тела.

Для изучения такого движения в твёрдом теле фиксируется произвольная точка А, которая называется полюсом (рис. 2.7)

Движение твердого тела рассматривается, как сложение поступательного движения вместе с системой координат, взятой в точке А с осями Ax1, Ay1, Az1, параллельными осям Ox, Oy, Oz, и вращательного движения вокруг точки А, как неподвижной.

Определение скорости произвольной точки М:

rM = rA + AM .

Дифференцируем по времени

∙

r&M = r&A + AM .

Скорость точки M равна

VM = VA + ω × AM .

Определение ускорения точки M:

∙

aM = V&M = V&A + ω& × AM + ω × AM .

50

Предположим, что материальная точка М движется относительно подвижной системы координат Ax1y1z1 по некоторой траектории Тотн. В этом случае по отношению к неподвижной системе координат Oxyz точка М совершает сложное движение, так как она движется вместе с телом (подвижной системой координат Ax1y1z1) и ещё сама движется по отношению к этому телу.

При изучении такого движения точки различают три вида движения этой точки.

Абсолютным движением точки М называется её движение по от-

ношению к неподвижной (абсолютной) системе координат. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют соответственно абсо-

лютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают V и a . Относительным движением точки М называется её движение по

отношению к подвижной системе координат. Скорость и ускорение точки в относительном движении называются относительной скоростью и от-

носительным ускорением и обозначают Vr и ar .

Переносным движением называется движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной. При этом движении подвижная система «переносит» вместе с собой множество неизменно связанных с ней точек.

Переносной скоростью и переносным ускорением называются скорости и ускорения той неизменно связанной с подвижной системой точки (В), с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, и обозначают Ve и ae .

Основные теоремы.

Теорема о скорости при сложном движении точки: вектор абсо-

лютной скорости равен геометрической сумме векторов относительной и переносной скоростей

V = Vr + Ve .

Теорема об ускорении при сложном движении точки (теорема Кориолиса): вектор абсолютного ускорения равен геометрической сумме векторов относительного, переносного и кориолисова ускорений

a = ar + ae + ak

Вектор ускорения Кориолиса определяется формулой ak = 2(ωe ×Vr ) .

и находится в соответствии с правилами вычисления векторного про-

каждый из них может являться геометрической суммой нескольких составляющих, например касательного и нормального ускорений.