Материал: Теоретическая механика
101
Рис. 5.4
102
Рис. 5.5
|
103 |
|
|
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ |
|
|
|
Дано: схема конструкции (рис. 5.6а); |
P = 0,3 кН, |
Q = 1,2 кН, |
|
a = 0,5 м, b = 0,2 м, l = 0,04 м, |
α= 600, |
β = 450, |
f = 0,25. |
Определить, при каких значениях силы F возможно равновесие конструкции. Определить также реакции опор O и A, соответствующие предельному состоянию равновесия.
РЕШЕНИЕ
Рассматриваемая конструкция состоит из трех тел: тележки, барабана и стержня AE с тормозной колодкой.
Рассмотрим равновесие, предполагая, что оно имеет место, для каждого из тел в отдельности.
Рис. 5.6
104
Сначала запишем уравнения равновесия тележки. На тележку действуют: сила тяжестиQ , реакция нити T и нормальная реакция наклонной
плоскости N1 (рис. 5.6б). Выбрав координатные оси, как показано на ри-
сунке 5.6б, запишем следующие уравнения равновесия указанной системы сил:
ïìåFix = 0, |
ì Q ×sin β -T = 0. |
(1) |
||
í |
i |
í |
- Q ×cos β = 0. |
(2) |
ïåFiy = 0, |
îN1 |
|||
î |
i |
|
|
|
Далее запишем уравнения равновесия барабана (рис. 5.6в). На бара-
бан действуют: сила тяжести P , реакция нитиT¢, реакция шарнирнонеподвижной опоры O, представленная двумя взаимно перпендикулярны-
ми составляющими Xo , Yo , давление N тормозной колодки и сила трения Fтр . Учитывая, что величины сил T и T¢равны (T = T'), уравнения равнове-
сия плоской произвольной системы сил, действующей на барабан представим в виде:
ì |
åFix = 0, |
T ×cos β + N ×sin a - Fтр ×cos a + Xo = 0, |
(3) |
|
ï |
||||
ï |
i |
|
Yo - P -T ×sin β - Fтр ×sin a - N ×cos a = 0, |
(4) |
í |
åFy = 0, |
|||
ï |
i |
r |
Fтр × 2× R - T × R = 0. |
|
ïïåmo (Fi ) = 0, |
(5) |
|||
î |
i |
|
|
|
Затем рассмотрим равновесие стержня AE с тормозной колодкой (рис. 5.6г). На стержень AE с тормозной колодкой действует следующая
плоская произвольная система сил: сила F , нормальная реакция N¢ бара-
¢ |
|
|
|
|
|
бана, сила трения Fтр и реакция шарнирно-неподвижной опоры A, пред- |
|||||
ставляемая составляющими X A , |
YA . Согласно аксиоме о равенстве дейст- |
||||
вия и противодействия величины сил N и N |
¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
||||
|
, а также Fтр и Fтр равны |
||||
N = N' , |
Fтр = F'тр . |
(6) |
|||
Уравнения равновесия указанной системы сил с учетом соотношений
(6) будут иметь вид:
ì |
åFix = 0, |
X A + F - N ×sin a |
|
ï |
|||
ï |
i |
|
YA + N ×cos a + |
í |
åFiy = 0, |
||
ï |
i |
r |
|
ïïåmo (Fi ) = 0, N ×a + Fтр ×l - F × |
|||
î |
i |
|
|
+ Fтр ×cos a = 0, |
(7) |
Fтр ×sin a = 0, |
(8) |
(a + b)×sin a = 0. |
(9) |
105
И, наконец, запишем условия равновесия конструкции при наличии трения:
Fтр £ f × N |
(10) |
Система полученных линейных алгебраических уравнений (1) – (5),
(7) – (9) с учетом неравенства (10) позволяет полностью решить поставленную задачу.
Прежде всего необходимо найти, при каких значениях силы F конструкция будет находиться в равновесии (то есть будет удовлетворяться неравенство (10)). С этой целью найдем на основании уравнений (1), (5) и (9)
величины сил Fтр и N, входящих в неравенство (10): |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
F |
= |
1 |
× Q × sin β , |
|
|
|
|
|
(11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
тр |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
é |
|
1 |
|
|
ù |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
N = |
|
|
|
× |
êF × (a + b) × sinα - |
|
× Q × sin β × lú |
|
(12) |
||||
|
|
|
a |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
û |
|
|
||
В результате подстановки (11) и (12) в (10) получим следующее не- |
|||||||||||||||
равенство: |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
1 |
|
ù |
|
||
|
|
× Q × sin β £ |
|
|
|
× êF × (a + b) × sinα - |
|
× Q × sin β × lú |
(13) |
||||||
2 |
|
a |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
û |
|
|||||
На основании (13) можно найти значения величины силы F, при которых рассматриваемая конструкция будет находиться в состоянии равно-
весия: |
1 |
|
Q × sin β × (a + f × l) |
|
|
F ³ |
× |
(14) |
|||
2 |
f × (a + b) × sinα |
||||
|
|
|
При заданных параметрах, входящих в правую часть (14), значения величины силы F, при которых конструкция будет находиться в равнове-
сии, определится неравенством: |
|
F ³1,43кН |
(15) |
В случае предельного состояния равновесия конструкции сила F бу- |
|
дет иметь минимальное значение |
|
Fmin = 1,43кН. |
(16) |
Учитывая (16) и данные задачи, |
на основании (1), (3), (4), (7), (8), |
(11) и (12) найдем реакции неподвижных опор O и A в случае предельного состояния равновесия конструкции:
Xo = -1,86 кН, Yо = 2,12 кН, XА = -0,17 кН, YА = -1,22 кН.
Следует заметить, что уравнение равновесия (2) оказалось не востребованным, так как по условию задачи не требовалось определить нормальную реакцию N наклонной плоскости.