Материал: Теоретическая механика
106
ЗАДАНИЕ К-2
Тело D (рис.2.1-2.6) вращается вокруг неподвижной оси по закону ϕ = ϕ(t) (ϕ измеряется в радианах, t - в секундах; положительное направление отсчета угла ϕ показано на рисунках дуговой стрелкой). По телу вдоль прямой AB (рис.2.1, 2.5, 2.6), или по окружности радиуса R (рис.2.2- 2.4) движется точка М по закону S=OM=f(t) см (положительное и отрицательное направления отсчета координаты S от точки O указаны соответственно знаками плюс (+) и минус (-)). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=t1 сек. Необходимые данные приведены в таблице 2.
Таблица 2
№ |
№ |
Уравнение вращатель- |
Уравнение |
t1 |
R |
a |
вар. |
рис. |
ного движения |
движения точки М |
(сек) |
(см) |
(см) |
|
|
ϕ = ϕ (t) (рад) |
OM = S = f (t) (см) |
|
|
|
1 |
2.1 |
2πt2 |
16 cos(πt /4) |
2 |
- |
16 |
2 |
2.2 |
2πt2 |
10πt |
0.5 |
10 |
- |
3 |
2.3 |
2πt |
5πt |
0 |
5 |
4 |
4 |
2.4 |
πt2 |
20π sin(πt/3) |
0,5 |
20 |
- |
5 |
2.5 |
sin(πt/6) |
5 - 2t2 |
1 |
- |
5 |
6 |
2.6 |
t3 |
7 - 4t2 |
1 |
- |
7 |
7 |
2.1 |
2t |
5 – 5t2 |
1 |
- |
5 |
8 |
2.2 |
πt3 |
20πt |
1 |
20 |
- |
9 |
2.3 |
3πt 2 |
20πt2 |
1 |
80 |
60 |
10 |
2.4 |
πt3 |
5πt 2 |
1 |
5 |
- |
11 |
2.5 |
cos(πt/3) |
3t – t2 |
1 |
- |
3 |
12 |
2.6 |
t2 |
4 sin(πt/4) |
2 |
- |
4 |
13 |
2.1 |
πt2 |
6 sin(πt/6) |
1 |
- |
6 |
14 |
2.2 |
2πt |
10πt2 |
1 |
10 |
- |
15 |
2.3 |
πt3 |
π(2 – t2) |
1 |
1 |
2 |
16 |
2.4 |
2πt |
10π cos(πt/6) |
2 |
10 |
- |
17 |
2.5 |
cos(πt/2) |
t2 |
1 |
- |
2 |
18 |
2.6 |
2t |
8 sin(πt/2) |
2 |
- |
8 |
19 |
2.1 |
π (t2+ 3t) |
3t2- 8t |
1 |
- |
8 |
20 |
2.2 |
πt2 |
8πt |
1,5 |
8 |
- |
21 |
2.3 |
4πt2 |
2π (t + t2) |
2 |
12 |
10 |
22 |
2.4 |
4 + 2πt2 |
3π (2 – t3) |
1 |
2 |
- |
23 |
2.5 |
cos(πt/6) |
2 – 4t2 |
1 |
- |
4 |
24 |
2.6 |
3t – t2 |
2t2- 4 |
1 |
- |
6 |
25 |
2.1 |
8πt + πt2 |
4 cos(πt/2) |
1 |
- |
4 |
107
№ |
№ |
Уравнение вращатель- |
Уравнение |
t1 |
R |
a |
вар. |
рис. |
ного движения |
движения точки М |
(сек) |
(см) |
(см) |
|
|
ϕ = ϕ (t) (рад) |
OM = S = f (t) (см) |
|
|
|
26 |
2.2 |
3πt2 |
40πt2 |
0,5 |
20 |
- |
27 |
2.3 |
2πt3 |
20πt |
1 |
8 |
6 |
28 |
2.4 |
0,6 πt2 |
π(10t – 2t2) |
1 |
16 |
- |
29 |
2.5 |
sin(πt/3) |
1 – 2t2 |
1 |
- |
2 |
30 |
2.6 |
2t |
4 cos(πt/3) |
1 |
- |
4 |
|
Пример выполнения задания К-2 |
|
|
|
||
|
Диск радиуса R = 0,5 м |
вращается вокруг своего вертикального |
||||
диаметра OB (рис.2.7) по закону ϕ = t3- 2t2 (ϕ измеряется в радианах, t - в секундах; положительное направление отсчета угла ϕ показано на рисунке дуговой стрелкой). По ободу диска движется точка M по закону
= ( = πR ( − 2 )
S OM 6 7t 2t
отсчета дуговых координат S от точки O указаны соответственно знаками плюс (+) и минус (-)). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t1=1 секунда.
Решение. Для определенности свяжем жестко с диском систему координат O1xyz (координатная плоскость O1yz совмещена с плоскостью диска). Движение точки М рассматриваем как сложное. Вращение диска (подвижной системы координат O1xyz ) вокруг вертикальной неподвижной оси O3z1 считаем переносным. При этом движение точки М по ободу диска будет относительным. Рассмотрим более полно эти движения.
1. Закон переносного вращательного движения задан уравнением
ϕ = t3- 2t2 . (1)
Определим угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения как алгебраические величины:
|
& |
2 |
− 4t |
; |
|
|
|
|
|||
|
ωe = ϕ = 3t |
|
|
||
|
& |
|
|
. |
|
|
εe = ωe = 6t − 4 |
|
|||
В момент времени t1= 1 сек. |
|
|
|
|
|
ωe=-1 c-1 |
; |
εe= 2 c-2 |
. |
(2) |
|
Знак угловой скорости определяет направление вращения тела во- |
|||||
круг неподвижной оси. В рассматриваемом случае |
ωe<О. Это означает, |
||||
что вращение в момент времени t1= 1 сек. происходит в направлении убывания угла ϕ (то есть в отрицательном направлении отсчета ϕ ). Путем сопоставления знаков угловой скорости и углового ускорения можно
|
|
|
|
|
|
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
B |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
O1 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
ϕ |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
- |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
|
30o |
D |
+ |
|
|
|||
|
|
|
ϕ |
|
|
O |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
Рис. 2.2 |
|
||||
|
|
|
M |
|
R |
R |
|
|
M |
|
|
ϕ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
O |
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
O |
|
- |
|
D |
O1 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
Рис. 2.3 |
|
Рис. 2.4 |
|
|||||
|
B |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
30 |
|
-O |
|
|
|
- O |
|
|
|
|
|
o |
+M |
a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
D |
|
O1 |
|
ϕ |
|
|
|
B |
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 2.5 |
|
Рис. 2.6 |
|
||||||
x
x1
109
|
z, z1 |
|
|
_ |
|
|
Vr |
_ |
|
|
τ |
|
_ |
M1 |
|
O2 aen |
_ |
|
_ |
|
|
n |
|
|
Ve |
_ |
|
α |
|
R |
arn |
|
|
|
O1
_
ωe
- |
O |
|
+ |
M |
|
ϕ
ωe
εe
O3
Рис. 2.7
_ 
_ ak aeτ
_
arτ
y
y1
установить характер вращательного движения, то есть является оно ускоренным или замедленным. В рассматриваемом случае, как следует из (2),
110
знаки угловой скорости и углового ускорения разные (ωe<0 , εe>0). Это показывает, что в момент времени t1=1 сек. абсолютная величина угловой скорости убывает, то есть вращение диска является замедленным. Угловая скорость и угловое ускорение на рисунке 2.5 условно показаны дуговыми стрелками вокруг оси вращения.
2. Относительное движение точки M задано естественным способом, так как известны: траектория относительного движения (окружность радиуса R=0,5 м с центром в точке О1), начало и положительное направление отсчета дуговых координат S, а также закон движения точки по траек-
тории, определяемый уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S = |
πR |
(7t - 2t 2 ) |
|
м . |
|
(3) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сначала установим положение точки M на дуге окружности в мо- |
|||||||||||||
мент времени t1=1 сек. Подставляя в уравнение (3) t1=1 сек., получим |
|
||||||||||||
S1 = |
5πR |
|
|
(м) |
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Центральный угол, соответствующий дуге окружности (4), опреде- |
|||||||||||||
лится по формуле |
|
|
|
S1 |
|
5π |
|
|
|
||||
ÐOO M |
1 |
= |
= |
|
рад. |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
R |
6 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, как следует из рисунка 2.5, угол |
|
||||||||||||
α = π - |
5π |
= π |
рад. |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|||
В положении точки M1, покажем орты двух естественных осей τ |
и |
||||||||||||
n (орт τ направляется по касательной к окружности радиуса R в сторону возрастания дуговых координат S, а орт главной нормали n - к центру окружности O1).
3. Найдем абсолютную скорость точки М по формуле: |
|
|
Va = Ve +Vr |
, |
(5) |
где Ve и Vr соответственно переносная и относительная скорости
точки.
Для определения переносной скорости точки в момент времени t1=1 сек. нужно мысленно остановить относительное движение точки в положении M1, и определить ее скорость как точки, жестко связанной с подвижной системой координат, то есть с диском. Диск, как было указано выше, совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси O3z1. В силу этого величина переносной скорости (Ve ) определится по формуле
Ve = |
|
ωe |
|
h |
(6) |
|
|
где h - расстояние от точки M1 до оси вращения. Из прямоугольного треугольника O1M1O2 (рис.2.5)