Материал: Теоретическая механика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

116

№	№	ωOA	εOA	R1	R2	α
варианта	рисунка	(с-1)	(с-2)	(м)	(м)	(град.)
24	3.6	1	1	0,5	0,1	0
25	3.1	8	2	0,8	0,3	210
26	3.2	9	1	0,9	0,4	240
27	3.3	1	1	0,6	0,1	0
28	3.4	1	2	0,6	0,1	30
29	3.5	1	2	0,6	0,2	30
30	3.6	2	3	0,6	0,3	60

Пример выполнения задания К-3

Дано: кинематическая схема планетарного механизма (рис.3.7);

R1= 0,6 м ; R2= 0,4 м ; ωOA = 1 с-1 ; εOA = 1 с-2. Определить скорости и ускорения точек A и B, показанных на рисунке, если α = 60°.

Решение: Рассмотрим последовательно движения каждого из двух подвижных звеньев планетарного механизма. Начинать при этом необходимо со звена, угловая скорость и угловое ускорение которого заданы. Таким образом, начнем исследование кинематики механизма с кривошипа.

1. Кривошип OA совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Определим скорость и ускорение точки А кривошипа, которая одновременно принадлежит и подвижной шестерне II.

Абсолютная величина скорости точки А (VA) определяется по фор-

муле

VA = ωOA ×		OA		= ωOA ×(R1 + R2 ) .	(1)

Для заданного положения механизма

VA =1×(0,6 + 0,4)=1 м/с . (2)

Вектор скорости VA направлен перпендикулярно ОА (радиусу вращения) в

направлении вращения, указанному на рис.3.5 дуговой стрелкой ωOA. Ускорение точки А представим разложенным на касательную и нор-

мальную составляющие

(3)

= aAn

+ aτA .

Величины нормального ( aAn ) и касательного (aτA ) ускорений опреде-

ляются соответственно по формулам:

×(R + R

) ,

= ω 2

= ω

(4)

aτ

= ε

×(R + R

) .

(5)

Для заданного положения механизма

aAn

=12 (0,6 + 0,4)= 1

м/с2 .

(6)

117

			II	R2
R1	εOA	R2	A	α B
	ωOA	II
	O	A
	α	A	R1
I	B		ωOA	εOA
		I		εOA
				O
				O
	Рис. 3.1		Рис. 3.2

ωOA

εOA

ωOA

εOA

Рис. 3.3

Рис. 3.4

ωOA

II ωOA

εOA

Рис. 3.5

Рис. 3.6

118

ε2

ω2

−

aAn

−

aBAn

−

ωOA

aAτ

εOA

−

aBAτ

Рис. 3.7
aτA =1×(0,6 + 0,4) =1 м/с2 .	(7)

При этом нормальное ускорение точки А ( rn ) направлено по радиусу ок- aA

ружности, описываемой точкой к центру этой окружности - к точке О.

Касательное ускорение ( rτ ) направлено по касательной к этой окружно- aA

сти (перпендикулярно OA) в сторону, указанную дуговой стрелкой εOA. Это объясняется тем, что при замедленном вращении (по условию задачи кривошип ОА вращается замедленно) касательное ускорение направляется в сторону, противоположную направлению вращения, указанного дуговой стрелкой ωOA . В то же время при замедленном вращении угловое ускорение направляется также в сторону, противоположную направлению угловой скорости.

Величина ускорения точки А в соответствии с соотношением (3) и с учетом (6) и (7) для заданного положения механизма определится по формуле:

aA = (anA )2 + (aτA )2 = 12 +12 = 2 м/с2 .

2. Шестерня II совершает плоскопараллельное (плоское) движение. Учитывая, что шестерня II катится без скольжения по неподвижной шестерне I, мгновенный центр скоростей (точка СV) подвижной шестерни будет находиться в точке соприкосновения двух шестерен (рис.3.5).

119

Для заданного положения планетарного механизма выше определена скорость центра шестерни II (точки А). Таким образом, зная величину скорости одной из точек и положение мгновенного центра скоростей подвижной шестерни, можно определить величину ее мгновенной угловой скорости (ω2) по формуле

ω2 =	VA	,	(7)
	ACV

где расстояние ACV= R2 .

В результате подстановки значения ACV= R2 и (1) в соотношение (7)

получим			ωOA ×(R1 + R2 )
ω2	=				.	(8)

			R2
Для заданного положения механизма
ω2	=		1×(0,6 + 0,4)	= 2,5 c-1 .		(9)
		0,4

Направление мгновенного вращения шестерни II вокруг мгновенного центра скоростей (точки CV), определяемое направлением скорости точ-

ки А (VA ), условно показано на рис.3.5 дуговой стрелкой ω2 .

Шестерня II в указанном положении движется замедленно. Это сле-

дует из сопоставления направлений векторов и rτ (они направлены в

VA aA

противоположные стороны). Следовательно угловое ускорение шестерни II (ε2) направлено в сторону, противоположную направлению угловой ско-

рости ω2 , что условно показано на рис.3.5 дуговой стрелкой ε2 .

Величину углового ускорения ε2 определим по формуле

(10)

ε2 = ω2 .

Учитывая (8), на основании (10) получим

ε2 =

ω&OA

×(R1 + R2 )

= εOA ×(R1 + R2 ) .

(11)

где εOA - величина углового ускорения кривошипа ОА.

Для заданного положения механизма

ε2 =

1×(0,6 + 0,4)

= 2,5

с-2 .

(12)

0,4

Таким образом, для некоторого момента времени найдены положение мгновенного центра скоростей, угловая скорость, угловое ускорение подвижной шестерни II, а также ускорение точки А. Это позволяет найти скорость и ускорение любой точки шестерни.

Прежде всего определим абсолютную величину скорости точки B

(VB) по формуле
VB = ω2 × BCV ,	(13)

120

где BCV - расстояние от точки В до мгновенного центра скоростей. Расстояние ВСV определим из треугольника ABCV . Этот треугольник

равносторонний и, следовательно,

BCV= R2= 0,4 м . (14)

Для заданного положения механизма, учитывая (9) и (14), на основании (13) получим

VB= 2,5 . 0,4 = 1 м/с .

(15)

Вектор скорости VB направлен перпендикулярно прямой BCV. Уско-

рение точки B можно найти на основании теоремы об ускорениях точек плоской фигуры, приняв точку A за полюс

	r	r	r	r	(16)
r	aB	= aA + aBAn		+ aBAτ ,	(16)
r	r
где aBAn	и aBAτ - соответственно нормальное и касательное ускорения

точки B при относительном вращательном движении шестерни II вокруг полюса А. Учитывая (3), формулу (16) представим в виде

r	r	r r	r	(17)
aB = aAn		+ aτA + aBAn	+ aBAτ .	(17)

Величины нормального ( aBAn ) и касательного (aτBA ) ускорений точки

B при относительном вращательном движении шестерни II вокруг полюса A определяются по формулам

an	= ω 2		× BA = ω 2			× R ,	(18)
BA		2			2	2
aτ	= ε	2	× BA = ε	2	× R .		(19)
BA		2		2		2
Для заданного положения механизма на основании (18) и (19) с уче-
том (9) и (12) получим
aBAn = 2,52 × 0,4 = 2,5 м/с2 ,							(20)
aτBA = 2,5×0,4 = 1 м/с2 .							(21)
			r			направлено вдоль ВА к центру
При этом нормальное ускорение aBAn						направлено вдоль ВА к центру
относительного вращения (к полюсу А),						r	на-
относительного вращения (к полюсу А),				а касательное ускорение aBAτ			на-

правлено перпендикулярно прямой АВ в сторону, указанную дуговой стрелкой ε2.

Таким образом, найдены модули четырех векторов ускорений, стоящих в правой части векторного равенства (17), и показаны их направления в точке В на рис. 3.5. Найдем ускорение точки В как геометрическую сумму четырех показанных в точке ускорений аналитическим способом. Для этого спроектируем векторы, стоящие в правой и левой части равенства

(17), на две оси координат x, y (рис.3.5)

aBx = aτA - aBAn × cos30° - aτBA × cos60° ,	(22)
aBy = -aAn + aBAn × cos60° - aτBA ×cos30° .	(23)

Учитывая (6), (7) (20) и (21), на основании (22) и (23) найдем для заданного положения механизма проекции ускорения точки В на оси x, y

Источник: https://studfile.net/preview/16461093/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
---Готовые билеты---
?Теоретические основы анализа и мониторинга качества