Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

5.7. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Определение 1. Пусть даны функции y f (u) и u (x) . В этом случае переменная у называется сложной функцией переменной х Переменная u называется промежуточным аргументом.

Теорема 1. Пусть функция u (x) при данном х имеет производную

Доказательство. Функция u x дифференцируема в точке х, значит

u x x (x, x) x , где (х,Δx) → 0 при х → 0. В свою очередь, функция y f (u) дифференцируема по u, т.е.

лу непрерывности дифференцируемой функции окажется, что и u → 0, следовательно,

Определение 2. Рассмотрим функцию у = f(x), определенную на множестве Х, и пусть Y – множество ее значений. Допустим, что эта функция строго возрастает или строго убывает на множестве Х. Тогда каждому значению x X отвечает единственное значение y Y и наоборот, т.е. на множестве Y

52

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

определена функция x=φ(y) такая, что множество Х является множеством ее значений и f ( (y)) y . Эту функцию называют обратной по отношению к

функции y f (x).

Если функция y f (x) задана аналитически, то обратную функцию можно получить, разрешив это соотношение относительно переменной х, после чего обычно обозначают аргумент обратной функции через х, а саму функцию через y (последняя операция не является обязательной).

Из курса математики средней школы известно, что графики прямой и обратной функции располагаются симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Итак, отметим без доказательства, что если некоторая функция у = f(x) определена и строго возрастает на множестве Х, то у нее существует обратная функция x (y) , которая определена и строго возрастает на множестве Y, которое является множеством значений прямой функции у = f(x).

Теорема 2. Если функция у = f(x) имеет в некоторой окрестности точки х обратную функцию х = х(у) и функция у = f(x) дифференцируема в точке х и yx 0, тогда обратная функция х = х(у) также дифференцируема в соответствующей точке y = y(x) и имеет место соотношение

Доказательство. Функция у = f(x) по условию теоремы дифференцируема в точке х, тогда она непрерывна в этой точке, т.е. если функция, на-

x 0 x

5.8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Доказанная теорема о дифференцировании обратной функции позволяет легко получить формулы для вычисления производных от обратных тригонометрических функций.

Рассмотрим функцию у = arcsinx. Она определена и строго возрастает на интервале [–1, 1]. Она служит обратной для функции х = siny, определенной на интервале [–π/2, π/2]. Следовательно,

53

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

5.9. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Основные формулы запишем в таблицу:

5.10. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Если требуется продифференцировать степенно-показательную функцию вида y = u(x)v(x) или произведение нескольких функций, или дробь, числитель и знаменатель которой содержат произведения, часто оказывается удобным обе части данного выражения сначала прологарифмировать по основанию е, а потом уже приступить к непосредственному дифференцированию. Этот прием получил название логарифмического дифференцирования, а производная от логарифма функции называется логарифмической производной. Итак, пусть y(х) = u(x)v(x), тогда lny(x)=v(x)·ln(u(x)). Продифференцируем левую и правую часть этого равенства по х:

54

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

x

5.11.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением F(x, y) = 0. Если при подстановке в это уравнение функции у = f(x), определенной в некотором интервале (a, b), последнее обращается в тождество, то говорят, что задана неявная функция y(x). В дальнейшем будем считать функцию y(x) дифференцируемой в заданном интервале. Прием нахождения производной от неявно заданной функции проиллюстрируем на примерах.

Пример 5.7. Найти производную yx из уравнения x3 + y3 – 3xy = 0. Решение. Пусть у = f(x) – функция, определяемая заданным уравнени-

по x: 2y' = y3 + 3xy2y'. Полагая x = 1 и y = 1, получим 2y' = 1 + 3y', откуда y' = –1.

Заметим, что уравнение F(x, y) = 0 определяет также неявную функцию x от y. Чтобы найти производную xy , нужно дифференцировать обе части

уравнения по y и из полученного равенства определить xy по формуле (5.11).

5.12. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точ-

ке производную, отличную от нуля. Тогда в точке x0 для любого x 0 имеет место соотношение

55

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

y f (x0) x (x, x) x,

(здесь x, x 0 при x 0 ), которое представляет собой сумму двух

ется дифференциалом функции у = f(x) в этой точке и обозначается dy или

Заметим, что приращение x аргумента x , который здесь выступает как независимая переменная, обычно обозначают символом dx и называют

дифференциалом независимой переменной. Это непосредственно следует из определения дифференциала, если положить f x x. Таким образом, формулу (5.13) для дифференциала функции записывают в виде

т.е. дифференциал функции в данной точке равен произведению производной функции в этой точке на дифференциал (приращение) независимой переменной.

Из формулы (5.14) находим, что f x0 dy . Таким образом, производ- dx

ную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции

к дифференциалу независимой переменной. Символ dy часто применяют dx

для обозначения производной функции y по переменной x .

Вернемся к графику функции у = f(x), представленному на рис.5.2. Как легко заметить, дифференциал функции у = f(x) в точке x0 геометрически представляет собой приращение ординаты QP касательной к графику этой функции в точке M0 x0, y0 на отрезке x0, x0 x .

5.13. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Если х - независимая переменная, а y f (x) – дифференцируемая функция, то dy yxdx. Покажем, что если переменная х является функцией другой независимой переменной, то дифференциал сохраняет свою форму.

56