Документ: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ, страницы 56-60

Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

Смотрите также:

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Глава 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

6.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

6.1.1. Теорема Ферма

Теорема. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], а в некоторой внутренней его точке x = c, c (a, b), достигает наибольшего (или наименьшего) значения. Если в этой точке существует конечная первая производная, то

она равна нулю, т.е. f (c) = 0.
Доказательство. Допустим для определенности, что в точке c функция
f(x) достигает наибольшего значения, т.е. f(c) f(x)	для любого x (a, b).
Придадим значению с достаточно малое приращение	x. Тогда f(c + x) f(c).

Отсюда при х < 0

у

f

f c x

0

x

и, так как

f (c) существует, то

lim

f

f c 0.

(6.1)

x 0 x

При x >0 имеем

f

0, и, следовательно,

О

с

х

x

Рис.6.1

lim

f

(6.2)

f c 0.

x 0 x

Из одновременного выполнения неравенств (6.1) и (6.2) следует, что

f

(c) 0.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что касательная к графи-

ку функции y = f(x) в точке х = с параллельна оси абсцисс (рис.6.1).

В теореме Ферма существенно, что с – внутренняя точка.

Например,

функция f(x) = sinx на отрезке 0; π/2] достигает в граничной (не внутренней) точке с = 0 наименьшего значения, но ее производная в этой точке равна еди-

нице (cos0 = 1).

6.1.2. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a,b , дифференци-

руема в интервале (a, b) и принимает	на его концах равные значения
f (a) f (b), то внутри интервала (a, b)	существует такая точка c, что
f (c) 0.
62

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

у

О a	с	b х	–1	0	1	х
	Рис.6.2			Рис.6.3

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке то она принимает на нем наибольшее (M) и наименьшее (m) значения по свойству функции, непрерывной на замкнутом промежутке. Тогда возможны только

два случая.	f x const		для всех x a,b .
1. M = n, тогда f(x) постоянна на a,b , т.е.
Поэтому в любой точке интервала a,b имеем		x 0.
	f

2. M > m. Так как f а f (b) , то хоть одно из значений М или т дости-

гается в некоторой точке c a,b . Следовательно, справедлива теорема Фер-

ма: f с 0 . Теорема доказана.

Геометрически теорема Ролля означает следующее: если граничные ординаты кривой у = f(x) равны, то на кривой найдется такая точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.6.2). Если требование дифференцируемости нарушается хотя бы в одной точке интервала a,b , то производ-

ная функции не обращается в нуль. Например, для функции f (x) x на от-

резке 1;1 (рис.6.3) выполнены все условия теоремы Ролля, кроме сущест-

вования производной в точке х = 0. Действительно, в интервале 1;1 нет

не существует.

6.1.3.Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)

Теорема. Пусть функции f (x)		и φ(x) непрерывны на отрезке			a,b ,
дифференцируемы в интервале a,b
		и x 0 для x a,b . Тогда найдет-
ся такая точка c a,b , для которой справедлива формула
	f(b) f	(a)
			f (c)	.	(6.3)
	(b) (a)
			(c)
Доказательство. Отметим, что b a , так как в противном случае
		равнялась бы нулю внутри отрезка, что
по теореме Ролля производная x
					63

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

противоречит условию теоремы. Введем вспомогательную функцию, удовлетворяющую всем условиям теоремы Ролля, равенством вида F(x) f (x) Rφ(x), где R некоторое постоянное число, подлежащее определению. Тогда функция F(x) как линейная комбинация функций f (x) и

φ(x) будет непрерывна на a,b и дифференцируема в a,b . Подберем те-

перь R так, чтобы F(a) F(b): f(a) R (a) f (b) R (b). Отсюда получим

R

f (b) f (a)

.

(6.4)

(b) (a)

При таком выборе R функция F(x) f (x) R (x)

удовлетворяет всем усло-

виям теоремы

Ролля, поэтому имеется

такая точка c a,b , в

которой

Тогда при x c

имеем

F (c) 0.

Найдем F (x):F (x) f

(x) R (x).

f c

R . Используя формулу (6.4), получим

или c

F (c) f

(c) R (c) 0

f (b) f (a)

f (c)

.

(c)

(b) (a)

Теорема доказана.

Формулу (6.3) обычно называют формулой Коши (обобщенной формулой конечных приращений).

6.1.4. Формула конечных приращений (формула Лагранжа)

Формула конечных приращений (формула Лагранжа) является важным частным случаем формулы Коши. Для ее вывода полагаем в (6.3) φ(x) x. Тогда φ(a) a, φ(b) b, x 1 и формула (6.3) примет вид

	f (b) f (a)	f		(6.5)

	b a		(c)

или
f (b) f (a) f				(6.6)
		(c)(b a),

где a c b.

Формула (6.6) называется формулой конечных приращений, или форму-

лой Лагранжа. В соответствии с этой формулой приращение функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого интервала. Функция f x , входящая в формулу (6.6), должна быть в соответствии с теоремой Коши непрерывна на a,b и дифференцируема в a,b .

Формулу (6.6) можно записать в другой форме. Значения а и b обозначим x и x x соответственно. Тогда получим

64

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

c a

c x

,

у

В

b a

x

М

где θ – некоторое число, удовлетворяющее усло-

вию 0 < θ < 1. Отсюда c = x + θΔx,

и формула

(6.6) в новых обозначениях примет вид

А

С

f (x x) f (x) f

(x x) x,

0 1.

a

с

b х

О

Геометрический смысл формулы Лагранжа

Рис.6.4

представлен рис.6.4. Пусть A(a, f (a)),

B(b, f (b))–

точки графика функции y f x ; AB – хорда, соединяющая точки

A и B.

Тогда отношение

BC

f (b) f (a)

tg , где β – угол наклона хорды АВ к

AC

b a

оси Ох. Так как значение производной функции f x в точке с равно танген-

су угла наклона

касательной

к

графику этой

функции

в точке

M(c, f (c)): f (c) tg , то формула

(6.5) может быть записана

в виде:

tg tg .

непрерывна на a,b

Таким образом, если функция f x

и дифференци-

руема в a,b , то между точками a и b имеется по крайней мере одна точка c, в которой касательная к графику данной функции параллельна хорде AB.

Пример 6.1. Выписать формулу Лагранжа для функции f x arctg	1	x
		x
1

на отрезке [0;1] и найти значение с.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции найдем производную:

1

1 x

(1 x)2

f

(x)

1 x

2

1 2x x2

1

1 x

1 2x x2

1 x

(1 x) (1 x)

(1 x)2

2

1

.

(1 x)2

2(1 x2) (1 x)2

1 x2

Откуда

1

f

Далее вычислим

(c) 1 c2 .

f a f 0 arctg1

;

f b f 1 arctg0 0;

b a 1 0 1.

4

Окончательно формула конечных приращений (6.6) примет вид

65

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

0	π	1	или			1		π	.
0		1 c2	или						.
4		1 c2			1 c2		4
Отсюда получим
		c	4 π	.
		c		.
			π

В теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши речь идет о существовании некоторой «средней» точки c a,b , в которой выполняется то или иное равенство. Поэтому рассмотренную группу теорем можно объединить названи-

ем теоремы о средних значениях.

6.1.5. Формула Тейлора

Пусть функция y = f(x) определена на некотором промежутке, содержащем точку х = а. Предположим, что в этом промежутке она имеет все производные до (n + 1)-го порядка включительно. Поставим задачу найти алгебраический многочлен, степень которого не превышает n, достаточно точно описывающий функцию f(x) в окрестности точки a. Искомый многочлен Pn x обладает следующими свойствами:

1)значение многочлена в точке a равно значению данной функции в этой точке;

2)значения всех производных многочлена до n-го порядка включительно в точке a равняются значениям соответствующих производных от функции f(x) в этой точке.

Таким образом, можно записать

Pn (a) f (a);

f

(a);

f

(n)

(a) f

(n)

(a).

(6.7)

Pn (a)

(a);...;Pn

Будем искать алгебраический многочлен Pn(x)

по степеням x a с не-

определенными коэффициентами:

P (x) C

0

C (x a) C

2

(x a)2 C

3

(x a)3

... C

n

(x a)n.

(6.8)

n

1

Неопределенные коэффициенты C0,C1,...,Cn должны быть такими, чтобы выполнялись условия (6.7). Сначала найдем производные от многочлена

Pn(x):

P (x) C 2C

2

(x a) 3C

(x a)2

... nC

n

(x a)n 1

;

n

1

3

n 2

3 2 C3(x a) n(n 1)Cn (x a)

Pn

(x) 2 1 C2

;

(6.9)

(n)

(x) n(n 1)(n 2) 2 1 Cn.

Pn

66

такой точки, где производная равна нулю:

f (x) 1, если

0 x 1, а при х = 0 производной

(x) 1, если

(x), как уже отмечалось,