Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте определение функции и области ее определения.

2.Что называется числовой последовательностью?

3.Дайте определение бесконечно малой последовательности.

4.Сформулируйте свойства бесконечно малых последовательностей.

5.Дайте определение бесконечно большой последовательности.

6.Сформулируйте свойства бесконечно больших числовых последовательностей.

7.Какая связь существует между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями?

8.Дайте определение предела последовательности и укажите его геометрический смысл.

9.Какой предел называют первым классическим (замечательным) и какие пределы следуют из него?

10.Какие пределы называют вспомогательными?

11.Сформулируйте определение предела функции на «языке последовательности» и на «языке ε – δ».

12.Какие теоремы теории пределов вам известны?

13.Какие функции называются бесконечно малыми и бесконечно большими?

14.Какими свойствами обладают бесконечно малые и бесконечно большие функции и какова связь между ними.

15.Какой предел называют вторым классическим (замечательным) пре-

делом?

16.Какие бесконечно малые называют эквивалентными и как их исполь-

зуют для раскрытия неопределенности вида 0 ?

17.Какие бесконечно малые называют бесконечно малыми одного порядка?

18.Сформулируйте определениенепрерывности функции в точке х = х0.

19.Какие точки называют точками разрыва функции и какова их классификация?

20.Какие свойства непрерывных функций вам известны?

Тесты

№	Вопрос		Варианты ответа
п/п	Вопрос		Варианты ответа
п/п

1	Какие бесконечно малые при	1.	tg2x ~ x2
	x 0 не являются эквива-	2.	1 cos2x ~ 2x2
	лентными?	2.	1 cos2x ~ 2x2
	лентными?	3.	ln(1 5x)~ 5x
		3.	ln(1 5x)~ 5x
		4.	cos5x cos3x ~ 2x

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

		Продолжение таблицы

№	Вопрос	Варианты ответа
п/п	Вопрос	Варианты ответа
п/п

2	lim	(x 5)					2		5		2	равен			1.	10
		(x 5)							5						2.	25
					x										2.	25
	x 0				x										3.	2x2
															3.	2x2
															4.	25x

3	Указать область определения														1.	1/2; 5/3
	функции y log2x 5 3x														2.	0; 1/2)
															3.	0; 1/2) 1/2; 5/3
															4.	5/3 ;

4	Последовательность yn на-														1.	E 0 N :n N		yn			E
4	Последовательность yn на-														1.	E 0 N :n N		yn			E
	зывается							бесконечно боль-							2.	E 0 N :n N	yn			E
	зывается							бесконечно боль-							2.	E 0 N :n N	yn			E
	шой, если														3. E 0 N :n N		yn		E
	шой, если

															4. E 0 N :n N		yn		E
															4. E 0 N :n N		yn		E

5			2			5x									1.	0
	lim			sin		5x					равен				2.	5/2
	lim		2								равен				2.	5/2
	x 0 ln (1 2x)														3.	25/4
															3.	25/4
															4.

6	Какая из указанных функций														1.	y ln(x 2)
	в точке						x 2						не является		2.	y (x 2)2
	бесконечно большой?														3	y ctg(x 2)
															3	y ctg(x 2)
															4.	y tg(x 2) 2

7
7	lim							12x						равен	1.	3
								12x							1.	3

															2.	12/8
	x
	x				4x					8x			3x

															3.	4
															3.	4
															4.	0

8	Какое утверждение в общем														1.	φ(x) ψ(x) – бесконечно малая
	случае неверно, если (х) и														функция
	(х) – бесконечно малые														2.	x / x – бесконечно малая
	функции при x a?														функция
															3.	(x) (x) – бесконечно малая
															функция
															4.	Функции (x) и (x) ограничены

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

			Окончание таблицы

№	Вопрос		Варианты ответа
п/п	Вопрос		Варианты ответа
п/п

9 Числовая последовательность		1. Монотонно возрастает (или убывает)
	имеет конечный предел, если	и ограничена
	она	2.	Ограничена
		3.	Монотонна
		4. Строго возрастающая

10 lim(1 tg2	x	)ctg2x равен	1.	1
x 0			2.	1/е
			3.	e1/2
			4.	e2

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Задача об определении скорости точки. Пусть материальная точка движется прямолинейно и неравномерно вдоль оси Oх по закону x f (t). Требуется найти ее скорость в момент времени t.

Пусть в момент времени t точка находилась в положении М на расстоянии х от начала координат О (рис.5.1). За время t она, не меняя направления движения, заняла положение М1 с абсциссой x x. Таким образом, за время t путь, пройденный движущейся точкой, изменился на x. Очевидно, что

x f (t t) f (t) , а отношение

определит среднюю скорость точки Vср

М1

за время t. Мгновенная скорость точ-

ки в момент t

Рис.5.1

lim V

lim

f (t t) f (t)

(5.1)

мгн

t 0 ср

t 0 t

t 0

Данная формула определяет скорость точки в прямолинейном переменном движении. Например, при свободном падении тяжелой материальной точки в пустоте закон движения определяется формулой x gt2 / 2 , где g – ускорение свободного падения. Тогда скорость точки в произвольный момент времени вычисляется по формуле (5.1)

g t t 2

gt2

g t

V lim

lim

t 0 t

t 0

5.2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ

ИМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Пусть функция y f (x) задана на некотором промежутке X. Возьмем конечную точку x X и дадим ей произвольное приращение x 0 , такое, что x x X . Приращение функции в точке х, соответствующее приращению аргумента x , y f x x f x .

Определение 1. Конечный или бесконечный предел отношения приращения функции y к вызвавшему его приращению аргумента x при условии, что x 0 ( x 0), называется производной функции у = f(x) по пере-

менной х и обозначается у , f (x) или yx . Итак,

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

lim

f x x f x

(5.2)

x lim

x 0 x

x 0

Пример 5.1.

Найти

производную

функции f x x2 в

произвольной

точке x.

Решение. По определению имеем

(x x)2 x2

(x) (x

) lim

x 0

= lim

x2 2x x x 2

lim

x 2x x

2x.

x 0

Таким образом, x

n–1

2x. Можно такжепоказать, что (х )

= nx

, n N.

Замечание 1. Если производная существует при каждом значении х в рассматриваемом промежутке, то она является функцией от х и обозначается f (x).

Замечание 2. Процесс нахождения производной функции называется

дифференцированием.

Рассмотрим геометрический смысл понятия производной.

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат xOy задан

график функции		y f (x). Выберем на кривой точку					M0 x0, y0 и точку
M x0 x, y0	y	и проведем секущую			M0M , образующую с осью Oх
угол (рис.5.2).
Определение 2. Пусть точка М приближается к точке M0								так, что рас-
стояние между ними			M0M 0. Если при этом			секущая		M0M будет
			l		приближатьcя к некоторому пре-
y			l		дельному положению M0T				так,
y			М		дельному положению M0T				так,
					что угол между прямыми M0M и
				Т	M0T стремится к нулю, то прямая
			Q	у	M0T называется касательной к
			Q	у	кривой в точке M0 .
					кривой в точке M0 .
			dу		Наличие		в точке M0		каса-
y0	М0				тельнойM0T ,		образующей с осью
y0			P		Ox ориентированный угол 0, эк-
			P		Ox ориентированный угол 0, эк-
			x		вивалентно равенству 0 lim ,
					вивалентно равенству 0 lim ,
								x 0
					а значит,	и	равенству		tg 0=
0					lim tg .
					x 0
О		x0	x0 + x	х	Очевидно, что имеет место
	Рис.5.2				равенство
46

Источник: https://studfile.net/preview/16405315/

Смотрите также:

_04_Mериме
'Славная революция' в Англии и её последствия
0002d82e-42262f6d
00511
00598
02-20-GP-DNA-tech2-ГМО
03-20-GP-SequencingHumanGenome
03. Объектно ориентированное моделирование
04 Расстройства кровообращения (полнокровие, кровотечение, кровоизлияние, стаз)
06.билет 6 Давыдова