Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

вивалентно условию существования и единственности касательной к кривой y f (x) в этой точке. Случаю конечной производной отвечает касательная,

не параллельная оси Oy, а случаю бесконечной производной – касательная, параллельная оси Oy.

Пример 5.2. Составить уравнение касательной к синусоиде y sinx в

точке x0 .

Решение. Уравнение касательной к графику функции в точке (x0, f (x0))

имеет вид

y f (x0) f (x0)(x x0).

тельной.

Механический смысл производной: в задаче о скорости материальной точки для прямолинейного неравномерного движения (cм. раздел 5.1) имеем

т.е. производная от функции, описывающей закон движения материальной точки, перемещающейся прямолинейно и неравномерно, определяет ее мгновенную скорость.

47

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

5.3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ

Определение. Функция y f (x), определенная в точке x0 и некоторой ее окрестности, называется дифференцируемой в этой точке, если существует конечная производная f (x0).

Теорема (необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке). Для того чтобы функция y f (x) была дифференцируема в

точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы приращение функции в точке x0 ,

Отсюда следует, что y yx(x0) x (x, x) x, а это и значит, что вы-

это значит, что функция y f (x) в точке x0 имеет конечную производную А,

т.е. yx (x0)=A.

5.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИЙ

Теорема. Если функция y f (x) дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция y f (x) дифференцируема в некото-

x 0

точке x0 .

48

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Замечание. Обратное утверждение не имеет места, так как из непрерывности функции в некоторой точке, вообще говоря, не следует дифференцируемость функции в этой точке. Рассмотрим, например, две функции, графики которых представлены на рис.5.3 и 5.4. Обе эти функции непрерывны в точке x0 , но они не будут дифференцируемы в этой точке. Касательная к

графику первой функции в точке M0 x0, y0 параллельна оси Оу, т.е. первая функция обладает в точке x0 бесконечной производной. График второй функции в точке x0 вообще не имеет единственной касательной, поэтому функция в точке x0 не может иметь конечной производной.

Определение 1. Точки, подобные x0 на рис.5.3, называются точками возврата функции, а подобные точкам x0 на рис.5.4 – угловыми точками.

Определение 2. Функция y f(x) называется дифференцируемой на

некотором промежутке X , если эта функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Отметим при этом, что в принадлежащих промежутку Х граничных точках должна иметь место односторонняя дифференцируемость (правосторонняя или левосторонняя). В частности, если X a,b - замкнутый отрезок, то

в его граничных точках a иb (a b) должны существовать соответственно односторонние конечные пределы:

Графиком функции, дифференцируемой на некотором промежутке, служит сплошная линия без точек возврата и угловых точек. Такую линию будем называть гладкой.

49

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

где f и g – приращения функций f(x) и g(x), соответствующие приращению аргумента х, при этом

lim f lim g

x 0 x 0

в силу дифференцируемости, а следовательно, непрерывности функций f(x), g(x) в точке х. Итак,

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Вынесем постоянный множитель за знак производной:

по формуле дифференцирования степенной функции и с учетом равенства нулю производной постоянной функции получим

5.6. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Определение. Если производная y (x)– дифференцируема в точке х, то производной второго порядка (второй производной) в этой точке называется производная от ее производной. Вторая производная обозначается y'' или

d2 y , или f''(x). dx2

Аналогично производная третьего порядка функции y f (x)есть про-

изводная от производной второго порядка: y''' = (y'')'.

Таким образом, производная n-го порядка от функции y f (x) есть производная от производной (n – 1)-го порядка: y(n) = (y(n - 1))'. Обозначается