Документ: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ, страницы 31-35

Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

Смотрите также:

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

x x .			(4.15).
	α x β x
Относительная погрешность равенства (4.15)		в силу теоремы 2
	α x

стремится к нулю.
4.21. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Пусть функция f (x) определена в окрестности точки			x x0 , так что в

точке x0 функция имеет определенное значение f (x0 ).

Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке х = х0

(при x x0 ), если предел функции и ее значение в точке х = х0 равны, т.е.

			lim f x f x0 .					(4.16)
			x x0
Замечание 1. На «языке последовательностей» непрерывность функции
f (x) в точке x x0	можно сформулировать так: функция						f (x) называется
непрерывной в точке		x x0	(при x x0 ), если для любой сходящейся к x0
последовательности	xn		значений аргумента		x x0 ,		соответствующая
последовательность f xn значений функции сходится к							f x0 .
Замечание 2. На графике функции				f (x) равенство (4.16) означает, что
при стремлении x	к	x0 ,	ордината	f (x) стремится к			ординате	f (x0 ).
Следовательно, условие непрерывности функции						f (x)	в точке	x x0
означает, что ее график «непрерывен»				при всех	x,	достаточно близких к
данной точке.

Замечание 3. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены, что видно из их графиков в области определения

и свойств.
Замечание 4. Заметим, что		lim x x0 и потому условие непрерывности
	x x0
(4.16) можно записать в виде:		lim	f (x) f ( lim x ) , т.е. для непрерывной
	x x0		x x0
функции знак функции и знак предела можно переставлять.
Например,
	1			1
lim ln(1 x)	x lnlim(1 x) x lne 1,
x 0			x 0

так как функция ln x непрерывна.

Приведем еще одно определение непрерывности функции в точке x0 .

Заметим, что условия x x0 и x x0 0 равносильны, и, следовательно, равенство (4.16) можно переписать в виде

37

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

						lim f x f x0 0.	4.17)
у						x x0 0
						x x0 0

			f (х0)	f (х0)		Определение 2. Разность х – х0 назы-
			f (х0)	f (х0)	вается приращением аргумента		x в точке
					x0	и обозначается x : x x x0 . Отсюда
					x0	и обозначается x : x x x0 . Отсюда
		f (х)			x x0 x .
О	х		х0	х		Определение 3. Разность f x f x0
О	х		х0	х		Определение 3. Разность f x f x0
		х			называется приращением функции в точке
		х			называется приращением функции в точке
					x0 ,	вызванным приращением	аргумента
		Рис.4.4			x , и обозначается y или f x0 :

f x0 f x f x0 f x0 x f x0 .

Геометрический смысл приращений очевиден из рис.4.4. Равенство (4.17) в новых обозначениях принимает вид

lim f x0 0 или	lim y 0 .
x 0	x 0

Таким образом, если бесконечно малому приращению аргумента в точке x x0 соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция в этой точке непрерывына. Справедливо и обратное утверждение.

Пример 4.11. Показать, что функция y x2

непрерывна

для любого

значения аргумента x.

Решение. Найдем y и его предел при x 0:

y (x x)2 x2 x2 2x x ( x)2 x2 2x x ( x)2;

lim y lim (2x x ( x)2 ) 2x lim x lim ( x)2

0.

x 0

Итак, lim y 0 для любого x.

x 0

Пример 4.12. Показать, что функция

y cosx

непрерывна для любого

аргумента x.

Решение. Найдем y :

x

sin

x

2

y cos(x x) cosx 2sin x

sin

sin x

x .

x

2

Известно, что

2

x

sin

x

2

lim

1;

sin x

1.

x 0

x

2

Тогда при любом x

имеем

lim y 0.

x 0

38

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Определение 4. Функция f (x) называется непрерывной в точке x x0

справа, если выполняется предельное равенство
	f (x0 0)		lim	f (x) f (x0 ).
			x x0 0
Аналогично определяется непрерывность функции f (x)						в точке	x x0
слева:	f (x0 0)		lim	f (x) f (x0 ).
	f (x0 0)		lim	f (x) f (x0 ).
			x x0 0
Определение 5.	Функция	f (x) называется непрерывной на интервале
(a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение 6. Функция		f (x) непрерывна на отрезке a,b , если она
непрерывна на интервале (a,b)			и непрерывна		на концах	отрезка	a,b
соответственно справа и слева.
4.22. РАЗРЫВ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ РАЗРЫВА
Пусть функция	f (x) определена			при всех	значениях	x , достаточно
близких к точке x x0 .		f (x)
Определение 1.	Функция	f (x)		при x x0	(в точке	x x0 )	имеет

разрыв, если в этой точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывно-

сти. При этом точка x x0

называется точкой разрыва.

Определение 2. Если существуют конечные левосторонние и правосто-

ронние пределы функции при

x x0 , но они не равны друг другу, т.е.

f (x0 0) f (x0 0),

то точка х = х0 называется точкой разрыва первогорода.

Заметим, что если

f (x0 0) f (x0

0) f x0 , то точка х = х0 называется

точкой устранимого разрыва.

Определение 3. Если хотя бы один из односторонних пределов не

существует или равен бесконечности,

то точка

x x0

называется точкой

разрыва второго рода.

Для примера рассмотрим несколько функций.

1. f x arctg

1

.

Область

определения функции:

,0 0 .

x

В точке x 0 она не определена.

Заметим, что

lim f x lim arctg

1

;

lim f x lim arctg

1

.

x

x 0

x

2

x 0

2

x 0

Следовательно, функция f x arctg1 в точке х = 0 имеет разрыв первогорода. x

39

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

2. Функция f (x) sin x . В точке х = 0 имеет устранимый разрыв. x

Действительно, значение функции при х = 0 не определено, но существуют конечные и равные друг другу лево- и правосторонние пределы:

lim

sin x

1;

lim

sin x

1.

x 0

x

x 0

x

x 0

Если доопределить функцию, положив

f (0) 1, то функция

sin x

f (x)

при

x 0;

x

1

при

x 0

станет непрерывной в точке x 0.

3. Функция

f x

sin x

. Вточке x 0 имеет разрыв первого рода, так как

x

f ( 0) lim

sin x

1;

f ( 0) lim

sin x

1.

x 0

x

x 0

x

4. Функция

f (x) cos

. В точке

x 0 имеет разрыв второго рода, так

x

как оба односторонних предела

lim cos

и

lim cos

не существуют.

x 0

x

x 0

x

1

5. Функция f x . Ее область определения ,0 0 . x2

В точке x 0 функция не определена. Заметим. что

lim f x lim		1	;
lim f x lim		x2	;
x 0	x 0	x2
x 0	x 0
	x 0

lim f x lim		1	.
lim f x lim		x2	.
x 0	x 0	x2
x 0	x 0
	x 0

Следовательно, функция f x 1 в точке х = 0 имеет разрыв второго рода. x

4.23. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Теорема 1. Если функции f x и g x непрерывны в точке x x0 , то сумма и разность функций f x g x , произведение f x g x и частное

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Доказательство. Непрерывные в точке x x0 функции f x иg x

имеют в этой точке пределы f x0 и g x0 соответственно. По теореме 1 раз-

дела 4.14 функции f x g x , f x g x		и	f x	имеют соответственно
			g x
	f x0
пределы f x0 g x0 , f x0 g x0 и		. Тогда по первому определению
	g x0

непрерывности функции в точке x x0 все перечисленные функции в этой точке непрерывны.

Теорема 2. Если функция u φ x непрерывна в точке x x0 , а функция

y	f u непрерывна в соответствующей точке	u0 φ x0 , то функция
y	f φ x непрерывна в точке x x0 .

Доказательство вытекает из определения непрерывности функций: основные элементарные функции в области их определения непрерывны.

Теорема Вейерштрасса (без доказательства). Если функция f(x) непрерывна на отрезке a,b , то на этом отрезке обязательно найдутся две точки c1 и c2 , где достигаются наибольшее (М) и наименьшее (m) значения

функции f (x) на [а, b]: f (c1) M, f (c2)	m, причем	m f (x) M.
Замечание. Последнее неравенство	показывает,	что если f (x) на

отрезке a,b непрерывна, то она на этом отрезке ограничена. Действительно,

пусть K max

m

,

M

. Тогда

f x

K ( K 0,K const).

Теорема Коши (без доказательства). Если функция f (x) непрерывна на отрезке a,b и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезка обязательно найдется по крайней мере одна точка x c такая,

что f (c) 0.

Из геометрических соображений очевидно, что при переходе непрерывной функции из одной полуплоскости в другую, график функции пересечет ось Ox по крайней мере в одной точке.

Следствие. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a,b и прини-

мает на этом промежутке наибольшее (М) и наименьшее (m) значения и μ –

такое число, что	m μ M,	то внутри отрезка найдется по крайней мере
одна точка x c	такая, что f	(c) μ.

41

0) также непрерывны в точке