Материал: 2216

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y3 C1 C3ex.

Собственные числа найдем из характеристического уравнения.

	1	1
1		1	0; 1 0; 2 1; 3 1.
1	1

Тогда общее решение запишется в виде

x	h1	h2	h3
1	1	1	1
x2 h21 C1 h22 C2et			h23 C3e t ,
x
x	h1	h2	h3
3	3	3	3

где собственные векторы hi определяются из систем

h1 h2 h3 0;

h1 h2 h3 0,

которые получаются при подстановке вместо собственные чисел 1, 2, 3 :

h2 h3 0;

h ;

h1 h

3 0;

при h

3 1; h1 1

;

h2 h3;

h1 h2 0;

h1 h2 h3 0;

при h

3 1;

;

h1 h3;

h1 h2 h3 0;

при h

2 1;

h1 h2;

h1 h2 h3 0;

Лекция № 8. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Интеграл 1-го рода.

Зададим в пространстве кусок гладкой кривой AB (кривая называется гладкой, если в любой точке кривой существует касательная, которая непрерывно меняется от точки к точке, иначе

если			,		t	существуют и			непрерывны в любой
если	x t ,	y t	,	z	t	существуют и			непрерывны в любой
t , ),		и функцию трех переменных (скалярную)
u f x, y,z ,		определённую в любых точках данной кривой.
Кривая задана уравнениями (1), (2)
						r	r	t , t ;
						(1)		x x t ;
								x x t ;

								y y t ;

								z z t .
						(2)
Проделаем следующие операции (рис. 1):
1.	Разобьем		кривую			на n участков			точками Mi xi, yi,zi ,

длины участков обозначим i	, max i назовем параметром
	i

разбиения.

2. На любом участке выберем точку Pi i, i, i и составим интегральную сумму:

f Pi i .

z
P2		M2
M1		Mn B
P1		Mn B
M0 A	0	y
M0 A		y

Рис. 1

3. Предел этой суммы при n и 0, если он существует и не зависит ни от способа разбиения кривой на

участки, ни от выбора точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода.

def : f x, y,z d . f x, y,z d – для замкнутой кривой.

f x, y,z d lim

i 1

(3)

Физический смысл и приложение

Пусть f M 0,

для любой точки

M AB.

Тогда можно

считать, что функция f x, y,z задает распределение линейной плотности на кривой, следовательно, интегральная сумма выражает приблизительно значение массы кривой, а f x, y,z d

дает точное значение массы кривой.

Интеграл 1-го рода также позволяет вычислить центры тяжести дуг кривых. Имеют место формулы:

x x, y,z d

y x, y,z d

z x, y,z d

;

; z

x, y,z d

(4)

x, y,z d M – массу кривой.

где x, y,z задает плотность,

Вычисление. Пусть AB гладкой кривой задана уравнениями

(1) или (2). Учитывая, что

x t

y t

z t

r t

(5)

сводим интеграл 1-го рода к определенному:

f x, y,z d f x t , y t ,z t

x 2 y 2 z 2

dt.

(6)

Пример.

Вычислить x y z d ,

где AB – дуга винтовой линии (рис. 2).

r t costi sint
	j tk , 0	t	.
	j tk , 0	t	.
x cost;		2
x cost;

y sint;	0 t	.
y sint;	0 t	.
	2
z t;
z

Рис. 2

1.Определяем d по формуле (5):

d x 2 y 2 z 2dt sint 2 cost 2 12dt 2dt.

2. x y z d		cost sint t
2. x y z d		cost sint t					2dt
AB		0	t2 2
								2
								2
	2 sint cost				2	2			4,8.
	2 sint cost				2	2			4,8.
			2					8
			2	0				8

Случай плоской кривой.

y x B

а 0

b x

Рис. 3

x x t ;

;

– задание кривой

y y t

2) y x ,

a x b

Если

рассматривать

кривую (рис. 3) как график функции

y x ,

a x b, то формулы (5), (6) приобретают вид:

1 y

dx;

f x, y d

x, x 1

dx.

Примеры.

1. Вычислить центр тяжести дуги цепной линии (рис. 4).

1,2,3

Рис. 4

y ex e x chx; 1 x 1. 2

xc 0;	yc	AB	. x, y const.

										ex		e x 2								ex			e x
		1 y 2 dx								ex		e x 2								ex			e x
d								1									dx										dx.
d								1									dx										dx.
												2												2
												2												2
				1	ex e x						1	ex e x e							1
	d							dx															2,35.
	d				2			dx			2										e		2,35.
AB				1		e x 2
				1 ex		e x 2								1 e2x 2 e 2x

											dx 2															dx
	yd					2					dx 2							4								dx
AB						2								0				4
AB				1					2x 1					0
	1	1	e	2x	2x		1	e	2x 1				1		1	e	2	2				1		e	2

	2	2					2						2		2							2
	2	2					2				0		2		2							2

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

r3 r 0; r r2 1 0; r 0; r 1; r 1.

общее решение.

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры