Материал: 2216

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			1	2
e2	4 e 2	e		6

			e		2,88.
	4		4

2,88

yc 2,35 1,23.

2. Вычислить центр тяжести дуги окружности (рис. 5).

x acost;	0 t .
	0 t .
y asint;
y

B a 0 a A x

Рис. 5

				yd
x	c	0; y	c	AB	.

				d

d дл. AB a; d a2 sin2 t a2 cos2 t dt adt .

					a2	1 1 2a2.

yd a2 sintdt a2 cost 0
AB	0	2a2
		2a2	2a
	yc			0,64a.
	yc	a		0,64a.
		a

2. Интегралы 2-го рода.

Зададим в пространстве вектором r t x t i y t j z t k дугу гладкой кривой AB: AB и вектор-функцию трех

аргументов, определенную в любых точках AB:

a x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k .

(7)

M AB, задан вектор a M .

Проделаем следующие операции (рис. 6):

Mi Mn B

Mi 1

Рис. 6

1. Разобьем кривую

на n

участков

точками

Mi xi, yi,zi ,

длины участков обозначим i ;

max i .

2. На любом участке выберем точку Pi i, i, i

и рассмотрим

на любом участке 2 вектора.

a i a Pi P i, i, i i Q i, i, i j R i, i, i k .

ri Mi 1Mi xi yi j zik ,

где xi xi xi 1; yi yi yi 1; zi zi zi 1. 3. Составим интегральную сумму:

a i ri

P i, i, i xi Q i, i, i yi R i, i, i zi

i 1

Предел этой

суммы

при

называется

криволинейным интегралом 2-го рода

a dr lim

def :

i 1

или

a dr adr

a dr

(8)

P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz.

(9)

Физический смысл

Пусть вектор-функция a x, y,z задает силу, под действием которой материальная тело переместилось по AB из точки A в

точку B, тогда интегральная сумма выражает приближенное значение работы при этом перемещении, то есть на любом участке работу подсчитываем приближенно, считая, что тело двигалось по отрезку Mi 1Mi под действием силы постоянной ai . Переходя к пределу, получим точное значение работы:

A	Fxdx Fydy Fzdz.
	AB
	Итак, a dr выражает работу по перемещению тела по

AB под действием силы F a .

Вычисление интеграла. Пусть AB гладкой кривой задана

уравнением	r t x t i y t j z t k ,	t ,	тогда
криволинейный интеграл сводится к определенному:
a dr P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz
AB	AB

P x t , y t ,z t x t dt Q x t , y t ,z t y t dt


R x t , y t ,z t z t dt.

Пример.	xdx ydy zdz;	r costi sint j tk ;
Вычислить	xdx ydy zdz;	r costi sint j tk ;

0 t ; AB– часть винтовой линии (рис. 7).

Рис. 7

xdx ydy zdz cost sint sint cost t dt

tdt

–

равно работе

по перемещению по

AB под действием силы F xi y j zk .

Случай плоской кривой (рис. 8).

Рис. 8

1) x x t ;

r t x t i y t j

t ;

y y t ;

2) y x ; a x b;

a P x, y i Q x, y j .

		b	x dx

adr	P x, y dx Q x, y dy P x, x Q x, x
AB	AB	a
		,

поскольку t x, то

adr P x t , y t x Q x t , y t y dt.

Пример.

Вычислить x y2 dx y x2 dy

OABO

Для замкнутого контура , получим (рис. 9)

OABO OA AB BO

					1				A
					y x
											x
					0				x 1
									x 1
					y x				B
					1				B
					Рис. 9
					1										1
x y2 dx y x2 dy x x2 x x2 dx y 1 dy
					0										1
0							2			3	1			2	1		0
						x	2		x	3				2			0
x x2 x x2 1 dx 2						x			x				y		y	x2	1
x x2 x x2 1 dx 2						2									y	x2	1
1						2		3			0	2			1
	1	1		4	.
2			2 1
2		3	2 1	3
	2	3		3

З а м е ч а н и е. Результат можно рассматривать как работу по перемещению тела по замкнутому контуру под действием силы

F x y2 i y x2 j .

Лекция № 9. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К КРАТНЫМ ИНТЕГРАЛАМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО И ПОВТОРНОГО ИНТЕГРАЛОВ И ИХ СВОЙСТВА

К кратным интегралам приводят многие задачи естествознания.

Задача № 1. Определить массу пластины D, если известна плотность пластины в любой её точке (рис. 1).

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры