Материал: 2216

z n

n

0 y

x

Рис. 6

З а м е ч а н и е. Направление нормали к поверхности и направление обхода по контуру должны быть согласованными

– составлять правый винт (рис. 6).

Лекция № 15. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Определение. Если в пространстве задана вектор-функция трех аргументов a x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k , то

говорят, что задано векторное поле. В частности, если a не зависит от времени t, то поле называется стационарным.

Для характеристики векторных полей вводят понятия: линия тока, поток векторного поля и дивергенция, циркуляция по контуру и ротор.

Определение. Линиями тока или векторными линиями

называют такие линии, касательные к которым в любой точке совпадают с вектором, заданным в этой точке (рис. 1).

виде.

Запишем линии тока в векторном виде

(1)

Из системы дифференциальных уравнений (1) определяются линии тока.

Пример.

На плоскости задано векторное поле a x, y yi x j . Найти векторные линии.

Запишем уравнение векторных линий в форме r x t i y t j.

dr dxi dy j ||a yi xj в любой точке.

окружностей (рис. 2).

y

0

x

Рис. 2

Поток векторного поля, дивергенция

Пусть задано векторное поле:

a x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k ,

будем считать, что оно задает поле скоростей несжимаемой жидкости. Возьмем в пространстве площадку ( может быть

плоской или куском поверхности), т.е. M a M . Тогда поток жидкости через площадку выразится интегралом (рис. 3):

a nd ,

(2)

a M M

n

Рис. 3

в произвольном векторном поле интеграл (2) называется потоком вектора через площадку .

Возьмем M x0, y0,z0 и окружим её произвольной гладкой замкнутой поверхностью V , ограничивающей объем V (рис. 4). Нормали к поверхности V направим во внешнюю сторону. Поток

векторного поля через V

a nd

V

(3)

характеризует производительность источников внутри объема V , т.е. если 0, в области V имеются источники, 0 – стоки,

0, нет ни источников, ни стоков, сколько втекает, столько же

ивытекает. Так, например, будет для любой области,

расположенной в потоке воды, текущей в реке. Если –

V

производительность источников в единице объема, если lim , то

V 0 V

получим производительность источников в точке. Эта производительность, а в поле скоростей интенсивность называется дивергенцией (divergentia) – расхождение векторного поля в точке

M .

M

Рис. 4

Определение. Дивергенцией векторного поля в точке M называется число:

Т е о р е м а 1. Если функции P x, y,z , Q x, y,z , R x, y,z и их частные производные непрерывны в области и на её границе, то

diva M 2 2 1 1. 4 4

В точке M имеется источник мощностью 1.

4

З а м е ч а н и я:

1) через diva формула Остроградского-Гаусса записывается компактно:

divad a nd .

(5)

2) через оператор Гамильтона сама дивергенция записывается тоже компактно:

diva a ,

(6)

здесь скалярное произведение оператора на вектор a.

ad a nd .

Циркуляция по замкнутому контуру, ротор

Будем считать, что векторное поле

a x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k

является силовым, т.е. M a M F – сила

A2

a M F

A1

Рис. 5

Возьмем в пространстве произвольную A1A2 , в любой точке

M A1A2определена сила F M (рис. 5). Под действием этой силы можно совершить работу по перемещению материального