Материал: Источник теоретического материала

где V и - объем пластины, площадь которой F, и элементарный объем частицы этой пластины, площадь которой , а h - толщина пластины.

Тогда, используя формулы, определяющие положение центра тяжести объема, получим:

;

(плоская фигура находится в плоскости xy).

В формулах величины, стоящие в числителе, получили особое название: статический момент площади относительно оси y - (в первой формуле) и относительно оси x - (во второй формуле): ; .

Статические моменты площади можно определить, зная и :

Центр тяжести линии – центр тяжести тонкой однородной проволоки, ось которой совпадает с линией. В этом случае объем проволоки ,

а объем элементарного участка проволоки ,

где и - длина проволоки, площадь поперечного сечения которой F, и длина элементарного участка проволоки.

Используя формулы, определяющие положение центра тяжести объема, получим:

;

;

(в случае плоской кривой линии , если линия находится в плоскости xy).

Определяя положение центра тяжести тела, целесообразно пользоваться хорошо известными правилами: центр тяжести симметричного твердого тела находится на оси симметрии; центр тяжести тела, имеющего плоскость симметрии, находится в этой плоскости.

При определении центра тяжести тела, имеющего полость (незаполненную часть тела), объем полости при расчетах учитывается как отрицательная величина. Если плоская пластина имеет отверстия (незаполненные материалом части), то в расчетах учитывается площадь отверстия, как отрицательная величина.

Лекция 8. Рычаг. Устойчивость против опрокидывания.

Предположим, что на рычаг в частном случае действуют заданные силы , ,…, , лежащие в плоскости чертежа, а также реакции и шарнирно-неподвижной опоры А (рис. 7.3). Составим уравнения равновесия сил, приложенных к рычагу:

Здесь: , и – проекции на оси координат задаваемых сил и сумма их моментов относительно точки А, соответственно.

Из уравнений (7.1) и (7.2) можно найти реакции и опоры рычага, а в уравнение (7.3) неизвестные реакции не входят. Это уравнение накладывает условие на задаваемые силы, приложенные к рычагу, и представляет собой условие, при котором рычаг находится в равновесии:

=0.

Для того, чтобы рычаг находился в равновесии, необходимо вы-

Рассмотрим твердое тело в виде однородного прямоугольного параллелепипеда, которое покоится на горизонтальной поверхности (рис. 7.4). На тело наложена нелокальная односторонняя связь. Пусть известны сила тяжести тела и его размеры a и h.

Предположим, что на тело действует горизонтальная опрокидывающая сила , которая увеличивается от нуля. В точке А имеется препятствие, предотвращающее скольжение тела по плоскости.

При P=0 горизонтальная реакция X_A=0, а линия действия локализованной нормальной реакции опоры N=G проходит через точку С. Когда сила становится больше нуля, то для того, чтобы тело находилось в равновесии, нормальная реакция должна сдвинуться в сторону точки А на некоторое расстояние x, которое можно найти из уравнения, представляющего собой сумму моментов всех сил относительно оси x, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку А:

mg∙x - P∙h=0.

Если обозначить: M_уд=mg∙x - момент удерживающих и M_опр=P∙h - момент опрокидывающих сил, то это уравнение приобретает вид:

M_уд= M_опр.

При дальнейшем увеличении силы расстояние x увеличивается и, наконец, в момент времени, когда x станет равен а, начнется опрокидывание тела (частичный сход тела со связи). При этом линия действия реакции достигает одной из точек оси x, лежащей на границе множества опорных точек тела.

Для оценки устойчивости тела против опрокидывания вводят понятие коэффициент устойчивости против опрокидывания, вычисляемый как отношение момента M_уд удерживающих к моменту M_опр опрокидывающих сил:

.

При наличии нелокальной односторонней связи может наблюдаться частичный сход тела со связи, который может произойти, если точка А приложения равнодействующей сил реакций смещается на границу выпуклого контура F, натянутого на множество опорных точек тела. Таким образом, условие частичного схода с нелокальной односторонней связи имеет вид: AÎF.

В простейшем случае частичный сход со связи представляет собой опрокидывание. На рис. 7.5 показано тело Т, множество опорных точек которого представляют собой ребра DB и BC. Выпуклым контуром F в этом случае является треугольник DBC. Опрокидывание тела Т наступает при условии, что точка А приложения равнодействующей сил реакций оказывается на границе контура F. В случае, если точка А находится на контуре F и не совпадает ни с одной вершиной треугольника DBC, то опрокидывание тела может произойти путем вращения вокруг ребра, на котором лежит эта точка. Если точка А совпадает с одной из вершин треугольника, то опрокидывание произойдет вращением вокруг этой вершины.

В более общем случае, когда контур F представляет собой произвольную плоскую кривую с непрерывной первой производной, опрокидывание тела происходит путем вращения вокруг касательной, проведенной к этой кривой в точке А, лежащей на этом контуре.