Материал: Источник теоретического материала

Лекция 9

Кинематика. Задачи кинематики.. Кинематика точки..

Кинематика. Задачи кинематики. Кинематика точки

Введение. Задачи кинематики

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучается геометрия движения тел без учета их массы и приложенных к ним сил. При изучении кинематики ориентируются на конкретную систему отсчета (систему координат), по отношению к которой рассматривается движение тела.

Если изучается движение материальной точки, то определяются траектория точки, ее скорость и ускорение, характер изменения скорости и ускорения точки с течением времени. Если изучается движение материального тела с учетом его размеров, то определяются траектории точек (частиц) тела, скорости и ускорения различных точек тела, а также закономерности изменения скорости и ускорения любой точки тела с течением времени. В связи с этим кинематика делится на две части: кинематика точки и кинематика абсолютно твердого тела. В кинематике твердого тела рассматриваются пять видов движения: поступательное, вращательное (вращение тела вокруг неподвижной оси), плоское (или плоско-параллельное), сферическое и движение свободного твердого тела (общий случай движения тела).

Кинематика точки

Способы задания движения точки

Чтобы определить траекторию (когда ее вид не известен), скорость и ускорение движущейся точки в любой момент времени, необходимо использовать исходные данные, т.е. задавать движение точки. Исторически сложились три главных способа задания движения точки: естественный (способ Эйлера), координатный (в декартовых, полярных и других координатах) и векторный.

Рассмотрим векторный способ задания движения точки.

По отношению к неподвижному центру О в пространстве движется точка М (рис.1).

Рис.1

Ее положение в любой момент времени можно определить с помощью радиуса-вектора , проведенного из неподвижного центра О в точку М. При движении точки величина и направление вектора непрерывно изменяются с течением времени: . Это – векторное уравнение движения точки. Траектория точки в этом случае определяется как годограф вектора , т.е. как геометрическое место концов вектора в разные моменты времени. Векторное уравнение движения точки позволяет определить скорость и ускорение точки. Этот способ задания движения точки используется в теоретических исследованиях и выводах.

Рассмотрим способ задания движения точки в декартовых координатах.

П оложение точки М в пространстве относительно прямоугольной системы координат (рис..2) определяется координатами x, y, z. При движении точки эти координаты изменяются с течением времени: , , .

Рис..2

Получаем уравнения движения точки, которые позволяют определять скорость и ускорение точки в любой момент времени. Уравнения движения точки в координатной форме – это, по существу, параметрические уравнения траектории (роль параметра играет время ). Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, достаточно исключить из заданных уравнений движения точки параметр . Например, в случае плоской траектории: и ; исключив параметр , получим: , или .

Таким образом, для решения задач кинематики точки в этом случае следует задавать уравнения движения точки в декартовых координатах.

Т еперь рассмотрим естественный способ задания движения точки (предложен Л.Эйлером). Задаются траектория точки (вид траектории относительно выбранной системы отсчета), начало и положительное направление отсчета дуговой координаты (точка О +), закон изменения дуговой координаты (расстояния вдоль траектории): - уравнение движения точки по заданной траектории (рис..3).

Рис..3

Этот способ задания движения точки позволяет определять скорость и ускорение точки в любой момент времени, а также получить уравнения равномерного и равнопеременного движения точки.

Определение скорости и ускорения точки

Скорость точки при векторном способе задания ее движения можно определить, рассматривая перемещение точки за малый промежуток времени , при котором радиус-вектор получает малое перемещение , что дает среднюю скорость точки за промежуток времени ( - вектор приращение точки М). Скорость точки М в данный момент времени определяем, переходя к пределу, к которому стремится вектор при , (рис.4) т.е. .

Рис.4

При этом вектор перемещения стремится к вектору , направляемому по касательной к траектории. Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от радиуса-вектора , т.к. , и вектор направляется по касательной к траектории в сторону движения точки.

Ускорение точки находим, определяя предел среднего ускорения , где - приращение скорости за малый промежуток времени , устремляя к нулю (рис.4), т.е.

.

Ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки, так как , или второй производной по времени от радиуса-вектора , т.к. .

Направление вектора определяется по направлению вектора , а направление вектора определяется с помощью годографа вектора (векторная функция позволяет построить годограф скорости ; в момент времени скорость конца вектора , равная , направляется по касательной к годографу, а ускорение ).

Лекция 10

Способы задания движения точки

Координатный способ

Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения в декартовых координатах производится по формулам, получаемым при рассмотрении векторного уравнения движения точки , где ( и - орты координатных осей, а и - координаты точки М) (рис.5).

Рис..5

Если заданы уравнения движения точки , и , то

,

отсюда получаем проекции скорости на оси координат: ; , , что позволяет найти величину скорости

и направление скорости , , ,

(направляющие косинусы углов, которые вектор составляет с осями координат, их направления задают орты , и ; обозначение производной по времени в виде точки над дифференцируемой функцией введено Ньютоном).

Ускорение точки определяется аналогичным образом:

, откуда и

, , .

Естественный способ

П ри естественном способе задания движения точки вводятся естественные оси (касательная Т, главная нормаль N и бинормаль В) – оси подвижной прямоугольной системы координат с началом, совпадающим с движущейся точкой М (рис.6).

Рис.10.6

Касательная (с единичным вектором ) направлена по касательной к заданной траектории в положительном направлении отсчета дуговой координаты S.

Главная нормаль (с ортом ) направляется перпендикулярно к касательной в сторону центра кривизны траектории (проходит через этот центр), а бинормаль (с ортом ) перпендикулярна к касательной и главной нормали и направляется так, чтобы орты , и образовывали правую систему координат. Через касательную и главную нормаль проходит соприкасающаяся плоскость F, через главную нормаль и бинормаль проходит нормальная плоскость Q, а через касательную и бинормаль проходит спрямляющая плоскость P. Эти три плоскости образуют естественный трехгранник, который перемещается в пространстве вместе с точкой М как одно целое твердое тело (его движение определяется заданной траекторией и заданным уравнением движения ).

Скорость точки определяем следующим образом:

,

где (из дифференциальной геометрии), а - проекция скорости на касательную. Итак, , а - модуль вектора . Знак производной определяет направление вектора .