Материал: Источник теоретического материала

Ускорение точки .

Определяем

,

где - вектор кривизны траектории, - радиус кривизны траектории в данной точке.

Теперь получим , где - нормальное ускорение, - касательное ускорение, - проекция ускорения точки М на касательную; знак этой производной определяет направление касательного ускорения.

Так как , .

Нормальное ускорение точки, направленное по главной нормали к центру кривизны траектории, характеризует изменение направления скорости , а касательное ускорение – изменение величины скорости.

Вектор всегда лежит в соприкасающейся плоскости, поэтому проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Если знаки и совпадают, то движение точки считается ускоренным, в противном случае – замедленным.

Если , а (в течение заданного промежутка времени), то движение точки называется равномерным (величина скорости постоянна).

Если (в течение заданного промежутка времени), то движение точки называется равнопеременным (равноускоренным, если и одного знака и равнозамедленным, если и разных знаков).

Уравнение равномерного движения точки по любой траектории: , где - значение дуговой координаты при .

Уравнение равнопеременного движения точки по любой траектории: , где и - значения дуговой координаты и скорости точки при (эти уравнения известны еще из школьного курса физики).

Из последнего уравнения можно получить уравнение, характеризующее изменение величины скорости точки при равнопеременном ее движении:

, или

(величина касательного ускорения берется с плюсом при равноускоренном движении и с минусом – при равнозамедленном движении).

Лекция 11

Кинематика твердого тела..Виды движения тела Поступательное движение тела. Вращательное движение тела. Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела

Кинематика твердого тела

Поступательное движение тела

Поступательным называется такое движение тела относительно конкретной системы отсчета, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению.

Если известна скорость точки А тела, то можно определить скорость любой другой точки тела, например, точки В, используя векторное равенство (рис.10.1) и формулу , что дает , так как ( при поступательном движении тела).

Рис.10.1

Следовательно, скорости точек тела в любой момент времени геометрически равны. То же мы получим, рассматривая ускорения точек тела:

.

Так что и ускорения точек тела в любой момент времени геометрически равны.

Равенство скоростей точек в один и тот же момент времени позволяет утверждать, что траектории точек тела при его поступательном движении параллельны (т.к. параллельны касательные к траекториям точек в каждый момент времени) или тождественны (траектории совпадают при их наложении друг на друга).

Такие свойства поступательного движения тела позволяют записать уравнения поступательного движения в виде:

, , ,

где А – произвольно выбранная точка тела.

Эти уравнения позволяют определить положение тела, траектории, скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени.

Задачи, связанные с определением скоростей и ускорений точек тела в этом случае сводятся к задачам кинематики точки.

Лекция 12

Вращательное движение тела

Вращательным называется движение тела, при котором хотя бы две точки тела неподвижны. Прямая линия, проходящая через эти две точки, называется осью вращения.

П оложение тела в пространстве однозначно определяется углом между плоскостями и , из которых - неподвижна, а - жестко связана с телом. Поэтому уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси: .

За положительное направление отсчета угла обычно принимается направление вращения тела против хода часовой стрелки, если наблюдатель смотрит со стороны положительного направления оси к началу координат (рис.10.2).

Рис.10.2

Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью и угловым ускорением.

Угловая скорость тела в данный момент времени определяется как предел средней угловой скорости при стремлении к нулю малого промежутка времени : (здесь - приращение угла поворота за время , а - средняя угловая скорость тела за промежуток времени ).

Угловое ускорение тела в данный момент времени определяется как предел среднего углового ускорения , где - приращение угловой скорости за время , при стремящемся к нулю:

.

В механике принято угловую скорость и угловое ускорение обозначать на чертеже в виде векторов и , направляя их по оси вращения, т.е.

и ,

где - единичный вектор оси вращения (он задает положительное направление оси), - проекция вектора на ось вращения, а - проекция вектора на ось вращения ( и еще называют условными или псевдо векторами).

Если и одного направления, то движение считается ускоренным и наоборот.

Уравнение равномерного вращения ( ):

,

где - значение угла поворота тела при .

Уравнение равнопеременного вращения ( ):

,

где и - значения угла поворота тела и угловой скорости при .

Отсюда можно получить уравнение угловой скорости (при равноускоренном вращении берется знак «плюс»; при равнозамедленном – знак «минус»).

Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела.

Любая точка тела, кроме неподвижных точек, лежащих на оси вращения, при вращении тела движется по окружности. Расстояние (дуговая координата точки М) и угол поворота тела (рис.10.8) связаны равенством: .

Если задано уравнение вращательного движения тела , то можно оперировать функцией времени , что дает возможность сразу получить формулы для определения скорости и ускорения точки М при естественном способе задания ее движения:

, ,

где - центростремительное ускорение (так называется нормальное ускорение точки, принадлежащей вращающемуся телу); - вращательное ускорение, (так называется касательное ускорение точки вращающегося тела).

Окончательная формула ускорения:

.

Из рис.10.8 видно, что ( - угол между ускорением и радиусом окружности точки М).

Для теоретических выводов часто используются векторные выражения скорости и ускорения точки вращающегося тела (рис.10.3) (формула Эйлера).