Материал: Математика. вводный курс . учебное пособие для иностранных граждан слушателей подготовительного отделения. Некрасова Н.Н., Горяйнов В.В
дробной части 1, 5 и 4 – это десятичные знаки.
Целую и дробную части числа 12,154 разделяет запятая(,).
12,154
целая часть дробная часть
запятая
Свойства десятичной дроби
1) Величина десятичной дроби не изменится, если написать нули справа.
0,7 0,70 0,700 0,7000 ..., потому что
107 10070 1000700 100007000 ... .
2) Величина десятичной дроби не изменится, если написать нули слева.
0,7 00,7 000,7 0000,7 ..., потому что
0,7 107 ; 00,7 107 ; 000,7 107 ; 0000,7 107 ... .
4.2.1. Сложение и вычитание десятичных дробей
Рассмотрим примеры:
1. Сложим дроби 0,7 и 0,2. Они имеют одинаковые знаменатели 10.
0,7 0,2 |
|
7 |
|
|
2 |
|
7 2 |
|
|
9 |
0,9; или 0,7+0,2=0,9. |
|
10 |
10 |
10 |
10 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
2. Сложим дроби 0,3 и 0,12. Они имеют разные знаменатели 10 и 100. Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю 100. Дробь 0,3 можно записать как 0,30. Получим дроби 0,30 и 0,12. Они имеют одинаковое число знаков в дробной части (после запятой), следовательно, мы уравняли число знаков после запятой.
Сложим эти дроби:
0,3 0,12 0,30 0,12 0,42 .
41
Сложение можно записать и так:
0,30 +0,12 0, 42
3. Сложим дроби 0,2; 0,05 и 0,023.
Сначала нужно уравнять число знаков после запятой, а потом сложить дроби:
0,2 0,05 0,023 0,200 0,050 0,023 0,273.
|
|
4. Выполним вычитание дробей 3,2 |
и 1,57. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3,2 1,57 3,20 1,57 1,63. |
|||||||||||||||
|
|
Вычитание можно записать и так: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, 20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,57 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 63 |
|
|
|
|
|||||
|
|
4.2.2. Умножение десятичной дроби на 10, на 100, на 1000 |
|||||||||||||||||||||
|
|
Рассмотрим примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
0,357 10 |
357 |
10 |
357 10 |
|
|
357 |
3 |
57 |
3,57 или 0,375 10 3,57 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1000 |
|
|
1000 |
|
|
100 |
|
100 |
|
|
|||||||||||
|
|
Множитель 10 имеет один нуль. Мы перенесли запятую вправо на один |
|||||||||||||||||||||
знак. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
0,357 100 |
357 |
100 |
|
357 100 |
|
357 |
35 |
7 |
35,7 или 0,357 100 35,7 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1000 |
|
|
|
1000 |
|
|
10 |
10 |
|
||||||||||||
|
|
Множитель 100 имеет два нуля. Мы перенесли запятую вправо на два |
|||||||||||||||||||||
знака. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
0,357 1000 |
357 |
1000 |
357 1000 |
357,0 или 0,357 1000 357,0 357 . |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1000 |
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Множитель 1000 имеет три нуля. Мы перенесли запятую вправо на три знака.
При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. можно делать так: если множитель – это число 10 (имеет один нуль), то нужно перенести запятую вправо на один знак; если множитель – число 100 (имеет два нуля), то нужно перенести запятую вправо на два знака; если множитель – это число 1000 (имеет три нуля), то нужно перенести запятую вправо на три знака и так далее.
42
Правило: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей имеет множитель.
Например, 1,27 10 12,7; 0,354 100 35,4 .
4.2.3. Деление десятичной дроби на 10, на 100, на 1000
Рассмотрим примеры: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
27,6 :10 |
276 |
|
1 |
|
|
276 |
|
2,76 |
или 27,6 :10 2,76 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
10 |
10 |
|
100 |
|
|
|
||||||||
Делитель 10 имеет один нуль, |
перенесли запятую влево на один знак. |
||||||||||||||||
27,6 :100 |
276 |
|
|
1 |
|
276 |
|
0,276 или |
27,6 :100 027,6 :100 0,276 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10 |
|
100 |
|
1000 |
|
|
|
|
|
||||||||
Делитель 100 имеет два нуля. Запятая переносится влево на два знака.
27,6 :1000 |
276 |
|
|
1 |
|
|
276 |
0,0276 . |
|
10 |
1000 |
10000 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
Делитель 1000 имеет три нуля, мы перенесли запятую влево на три знака.
27,6 :1000 0027,6 :1000 0,0276 .
Правило: Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей имеет делитель.
4.2.4. Умножение десятичных дробей
Рассмотрим произведение: |
|
|
|
|
|
|||||||
0,4 0,13 |
|
4 |
|
|
13 |
|
4 13 |
|
|
52 |
52 :1000 0,052. |
|
10 |
100 |
10 100 |
1000 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Теперь посмотрим, как можно найти произведение, если десятичные дроби не записывать как обыкновенные. Сначала нужно найти произведение числителей: 4 13 52. Затем число 52 нужно разделить на произведение знаменателей . Делитель 1000 имеет три нуля, поэтому частное 52 :1000 0,052 имеет три десятичных знака.
Множители 0,4 и 0,13 вместе тоже имеют три десятичных знака (1+2=3)
43
0,4 0,13 0,052 .
Найдем произведение 0,003 1,2 . Сначала нужно найти произведение целых чисел: 3 и 12 (эти числа мы получим, если не будем смотреть на запятые)
0003 12 3 12 36 .
Потом найдем, сколько десятичных знаков имеют множители вместе, получим 3+1=4, следовательно, в произведении нужно отделить запятой 4 десятичных знака:
0,003 1,2 0,0036 .
Правило. При умножении десятичных дробей не смотрим на запятые и умножаем дроби как целые числа. В полученном произведении отделяем запятой столько десятичных знаков, сколько десятичных знаков имеют множители вместе.
Например, а) 0,7 0,8 0,56 ; |
б) 1,235 4 4,940 4,94 ; |
в) 0,125 0,8 0,1000 0,1; |
г) 0,3 0,04 1,2 0,0144 . |
4.2.5. Деление десятичных дробей
Рассмотрим на примере деление десятичной дроби на целое число:
1) |
17,52 : 3 |
1752 |
|
1 |
|
|
1752 |
|
|
584 |
5,84 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
100 |
3 |
100 3 |
100 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Деление ещё можно записать так:
_17,52 3
15 5,84
_ 25 24 _12
12
0
44
2) 0,34:5= 0,34 : 5 |
34 |
|
1 |
|
34 |
|
340 |
|
|
68 |
0,068 или |
||
|
|
|
100 5 |
1000 5 |
|
|
|||||||
|
100 |
|
5 |
|
|
1000 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
_ 0,340 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0,068
_ 34 30
_ 40 40 0
Правило. Десятичную дробь делим на целое число, как делим целое
число на целое. Сначала нужно разделить целую часть и написать запятую, потом продолжать делить дробную часть.
Теперь рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную дробь.
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
0,36 : 0, 4 |
0,36 |
|
0,36 10 |
|
3,6 |
3,6 : 4 0,9 . |
|
0, 4 |
0, 4 10 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
Умножили делимое и делитель на 10 и получили делитель 4 – целое число. Потом выполнили деление на целое число. Деление десятичной дроби на десятичную дробь можно записать так:
0,36 : 0,4 3,6 : 4 0,9.
2) |
0,125 : 0,05 |
0,125 |
|
0,125 100 |
|
12,5 |
12,5 : 5 2,5 . |
||
0,05 |
0,05 100 |
|
5 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Умножили делимое и делитель на 100 и получили делитель 5 – целое число. Потом выполнили деление на целое число.
0,125: 0,05 12,5: 5 2,5 .
3) 0,72 : 0,008 |
0,72 |
|
0,72 1000 |
|
720 |
90 |
или |
|
0,008 |
0,008 1000 |
8 |
||||||
|
|
|
|
|
0,72 : 0,008 0,720 : 0,008 720 :8 90 .
Если делитель – десятичная дробь, то сначала нужно умножить
45