Материал: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед, длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, авысота 3м, найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза.

Ответ: v = 30,7 км/час.

§ 45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

45.1 (1150). Составить уравнение движения маятника переменной массы в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Масса маятника изменяется по заданному закону m — m(t) путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю. Длина нити

339

маятника А На маятник действует также сила сопротивления, пропорциональная его угловой скорости: R — —ф§.

Ответ: ? + ~Щ ¥ + f sin <Р = °-

45.2. Составить дифференциальное уравнение восходящего движения ракеты. Эффективную скорость ve истечения газов *) считать постоянной. Масса ракеты изменяется по закону /« = wo /(t) (закон сгорания). Сила сопротивления воздуха является заданной функцией скорости и положения ракеты: R (х, х).

Ответ: X = - g - ^lv e

45.3 (1152). Проинтегрировать уравнение движения предыдущей задачи при т = т^{\ — at) и R = 0. Начальная скорость ракеты у поверхности земли равна нулю. На какой высоте будет находиться

чения газов из ракеты.

45.6. При условиях предыдущей задачи определить значение а, отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Нтах-,

и вычислить //п,ах (величину у.= at,, = In —*• необходимо считать по-

стоянкой; /И]— масса ракеты в момент U). Ответ: а = оо (мгновенное сгорание);

•) Тяга реактивного двигателя определяется формулой Ря = — ~гг ve, где ve — эффективная скорость истечения.

340

нулю, движется с постоянным ускорением w погоризонтальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов ve постоянна.

Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, пройденный телом до того момента, когда его масса уменьшится в k раз.

Ответ: s = п— (In kf.

45.13. Решить предыдущую задачу, предположив, что на тело действует сила трения скольжения.

Ответ: S = TT—г~г^г0п^У> г Де / — коэффициент трения скольжения.

*) Числом Циолковского называется отношение стартовой массы ракеты к массе ракеты без топлива.

341

должно быть ускорение а, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую скорость?

—V^ifa

Ответ: Bee раз; а — ~.

45.15. Определить в вредыдущей задаче массу топлива, сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие будет равно нулю.

45.17. Решить предыдущую задачу, если изменение топлива будет происходить по закону т = тф~'и. Определить, при каком а тело будет двигаться с постоянной скоростью v9.

Ответ: v = vo—f(g — a.ve)t; s = vat—f(g — a.ve)T; a = ^-.

45.18. Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve, если известна начальная масса ракеты то и секундный расход [3?

Ответ: s = ~~^ • ~ , где е — неперово число.

45.19. Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо. Начальная масса ракеты /йв» конечная — тх. Эффективная скорость истечения ve постоянна.

Ответ: А = m\v\ [In z — (z — 1)]; z = — .

45.20. При каком отношении z начальной /я0 и конечной Ш\ масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при отсутствии сил тяготения, ее механический к. п. д., определяемый как отношение ки-

342