Материал: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

нетической	энергии	ракеты после	выгорания	топлива к затраченной
энергии, имеет наибольшее значение?
		,	2 (г— 1)
Ответ:	z— корень уравнения ш г =			.—'-,
45.21. Самолет,		имеющий массу	то, приземляется со скоростью %

на полярный аэродром. Вследствие обледенения масса самолета при

движении после посадки увеличивается согласно формуле /я=/яо -\|-а£,
где а = const. Сопротивление движению					самолета по аэродрому про-
порционально его			весу (коэффициент пропорциональности /). Опре-
делить		промежуток	времени до остановки самолета с учетом			(Г) и без
учета		(7i) изменения его		массы. Найти	закон изменения	скорости
с	течением времени.
		movo~fgl2(2m0
	45.22. Эффективные скорости истечения первой и второй					ступени
у	двухступенчатой		ракеты	соответственно	равны
		г£' = 2400 м/сек и г£" =			2600 м/сек.
	Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения
и	атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скоро-

сти г)!=2400 м/сек первой ступени и конечной скорости •иа=5400 м/сек

второй ступени.

Ответ: z1

— 2,72; z2

= 3,17.

45.23. Считая, что у

трехступенчатой

ракеты

числа Циолковского

и эффективные скорости ve

истечения у всех

трех ступеней

одина-

ковы, найти число Циолковского при г>е= 2,4 км/сек,

если после

сгорания

всего

топлива

скорость ракеты равна 9 км/сек

(влиянием

поля тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь).

Ответ: z =

3,49.

45.24. Трехступенчатая ракета движется поступательно

при

отсут-

ствии тяготения и сопротивления атмосферы.

Эффективные скорости

истечения и числа Циолковского для всех

ступеней одинаковы

и соот-

ветственно

равны г1е

2500

м/сек,

z = 4.

Определить

скорости

ракеты

после

сгорания

горючего

в первой

ступени,

во

второй

и в третьей.

Ответ: v^ — ЪАЪЬм/сек;

г>2 =

6930

м/сек;

-и3 = 10 395

м/сек.

45.25.

момент,

когда

приближающийся

к Луне космический

корабль находится на расстоянии Н от ее поверхности и имеет скорость г»о, направленную к центру Луны, включается тормозной двигатель. Учитывая, что сила тяготения обратно пропорциональна квад-

рату расстояния от корабля до центра			Луны, и принимая,		что	масса
корабля изменяется по закону т =		т^~ы	(т^— масса ракеты в момент
включения тормозного	двигателя,	а — постоянное		число),	найти я,
при котором корабль	совершит мягкую		посадку	(т. е. будет		иметь

. 343

скорость прилунения, равную нулю). Эффективная скорость истече* ния газов ve постоянна. Радиус Луны R,

Ответ: « = ^

| *

45.26. Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение w постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (Ь— коэффициент пропорциональности). Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная ско-

рость истечения газа ve постоянна.

Ответ:

			2v bws
	w + g	'	(® + gj3	(
К задаче 45 27.	45.27. Ракета		перемещается	в одно-
	родном поле	силы тяжести по прямой с
постоянным ускорением W. Эта прямая образует угол а с гори-
зонтальной плоскостью,	проведенной	к	поверхности	Земли в

точке запуска ракеты. Предполагая, что эффективная скорость исте-

чения газов ve постоянна по величине и направлению, определить, каково должно быть отношение начальной массы ракеты к массе ракеты без топлива (число Циолковского), если к моменту сгорания топлива ракета оказалась на расстоянии Н от указанной выше карательной плоскости.

		a -tf'lwH
	Ответ: z = evec°si>v		8 ш а , г д е Р — угол,образуемый	скоростью<ое
с	касательной	плоскостью, равный
			да COS a
		=	arccos:
	45.28. Тело переменной массы движется с постоянным ускорением w
по	шероховатым прямолинейным направляющим, составляющим угол а
с	горизонтом.	Считая, что поле силы тяжести является		однородным,

а сопротивление атмосферы движению тела пропорционально первой

степени скорости ф — коэффициент сопротивления), найти закон изменения массы тела. Эффективная скорость истечения газа ve постоянна; коэффициент трения скольжения между телом и направляющими равен /.

Ответ:т= \щ гдете>,=

—начальная масса тела.

46.29(1155). Аэростат весом Q поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат действуют подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорцио-

344

нальная квадрату скорости: R — —p.£s. Вес единицы длины каната ?. Составить уравнение движения аэростата.

Ответ: x = ~g +	7	^	Ji±I х\
*~Q	+ l>c		Q + чх
45.30 (1156). При		условиях предыдущей задачи опреде-

лить скорость подъема аэростата. В начальный момент аэростат неподвижен и находится на высоте //д.

Ответ: ^	^	I	J
		I	J
45.31 (1157).		Шарообразная водяная	капля падает вертикально

в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденсации

масса	капли	возрастает пропорционально			площади	ее поверхности
(коэффициент		пропорциональности		а). Начальный радиус капли Го,
ее начальная скорость ^о, начальная				высота Ло. Определить скорость
капли	и закон		изменения ее высоты со		временем	(сопротивлением
движению пренебречь).
Указание .			Показать, что dr—a	dt, и перейти к новой независимой
переменной г.

Отеет: Х

45.32 (1158). Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивления, пропорциональная площади максимального поперечного сечения а скорости капли: / ? = — 4(3гсг2и ф — постоянный коэффициент).

Ответ: х =	ho	3	х
	X		g(rs-rl)
	X		2о(4а + 3р) '
			2о(4а + 3р) '
V	4<хgr +	.7<«+й
где r —

45.33 (1159). Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено цепи

неподвижно свешивается со стола. Направляя	ось х вертикально
вниз и принимая, что в начальный момент х=0,	х — 0, определить
движение цепи.

Ответ: х = ~ gt*.

45.34 (1160). Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образующем

345-

угол а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю /. Вес единицы длины цепи у, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки в начальный момент v0. Определить скорость вагонетки в любой момент времени и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может остановиться.

Остановка может иметь место при выполнении неравенства / > tg a. 45.35(1161). Материальная точка массы т притягивается по

закону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру. Масса центра со временем меняется по закону М = -г—^у. Определить дви-

жение точки.
Указание .	Перейти к новым координатам с	помощью соотношений
\| = ~ ^ 4 =	i и к приведенному времени * =	_ _ _ - .

Ответ: Уравнения движения в координатах £, т] имеют вид [f— постоянная тяготения)

т. е. отвечают обычным уравнениям в случае постоянных масс. Поэтому в зависимости от начальных условий в переменных | и т] имеют место эллиптические, параболические или гиперболические орбиты.

45.36. Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой т0, продукты сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. Принять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии г от оси вращения ротора. Касательная составляющая эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve постоянна.

Считая, что общий расход массы пороха в одну секунду равен q, определить угловую скорость со ротора к моменту сгорания пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивления, равный М. Радиус ротора R. В начальный момент ротор находится в покое.

Ответ: со =		qVeo~~—ln-r2-,		где J0 = Jo-\-mar2,		Jo—	момент
		f о,	Jp	"		p
инерции ротора относительно оси вращения.
45.37. По	данным предыдущей задачи найти				угловую		скорость
ротора после	сгорания		пороха, если на ротор действует момент сопро-
тивления, пропорциональный его				угловой скорости	ф — коэффициент
пропорциональности).
„		Rveq \ *	I Jp V2e
Ответ:ы=—~1 И —\-г				•

346

45.38. Многоступенчатая ракета состоит из полезного груза и ступеней. Каждая ступень после израсходования топлива отделяется от остальной конструкции. Под субракетой понимается сочетание работающей ступени, всех неработающих ступеней и полезного груза, причем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный груз являются «полезным грузом», т. е. каждая ракета рассматривается как одноступенчатая ракета. На рисунке указана нумерация

ступеней и

субракеты.

Пусть

q — вес

полезного

груза,

Р , — вес топлива в f-й ступени,

Q; —

сухой

(без топлива)

вес £-й ступени,

Qt — полный вес г-й субракеты.

Вводя в рассмотрение число Циол-

ковского для каждой

субракеты

. _^

и конструктивную характеристику (от-

ношение полного веса ступени к ее

сухому

весу) для

каждой ступени

„ __ Qi + Pi

К задаче 45 38.

определить полный стартовый вес всей ракеты, вес k-R субракеты,

вес

топлива А-й ступени, сухой вес &-й ступени.

У к а з а н и е .

При решении задачи

ввести а,-— «относительный

вес»

i-й субракеты, т. е. отношение 'начального

веса субракеты к весу ее полез-

ного груза:

Ответ:

О^

Si—Z:

i = k

Qk=—-^(формулы

Фертрегта).

45.39.

Двухступенчатая

ракета предназначена

сообщить

полез-

ному грузу

<? = 1 0 0

кГ скорость г>=6000 м/сек. Эффективные ско-

рости истечения газов у ступеней одинаковы и равны ve = 2400

м/сек.

Конструктивные

характеристики

первой

и второй

ступеней соответ-

ственно

равны st =

4, s2 =

5 (см. задачу

45.38).

Пренебрегая

силой

тяготения

Земли

сопротивлением

атмосферы,

определить

числа

Циолковского для

первой

и второй субракет, при которых старто-

вый вес Oj

ракеты

будет минимальный.

Ответ:

zx — 3,2;

Z<L — \\

O ! = 19,2 г.

347

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280970

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ