Материал: Источник теоретического материала

Рис.10.9

Модуль вектора : ; направление вектора, равного векторному произведению на , совпадает с направлением скорости точки М. Таким образом, убеждаемся в справедливости формулы Эйлера.

.

Первое слагаемое совпадает с вращательным ускорением, так как , а второе слагаемое совпадает с центростремительным ускорением, так как (направления векторов также проверяются по правилу векторного произведения). Таким образом, получаем:

и .

Лекция 13

Плоское движение тела. Определение скорости точки плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей

Плоское движение тела

Плоским (или плоско-параллельным) называется такое движение тела, при котором все точки тела остаются в плоскостях, параллельных одной и той же неподвижной плоскости (рис.11.1).

Рис.11.1

Отсюда следует, что любой отрезок прямой, связанной с телом, перпендикулярный к плоскости Н (например, отрезок ), движется поступательно. Следовательно, траектории точек , А и одинаковы, скорости этих точек геометрически равны в любой момент времени, ускорения точек также геометрически равны. То же самое можно сказать о точках , В и отрезка . Делаем вывод: изучать плоское движение объемного тела можно, исследуя движение плоской фигуры S, связанной с телом, в ее плоскости.

Так как положение плоской фигуры в ее плоскости (в плоскости ) однозначно определяется положением отрезка АВ, принадлежащего плоской фигуре, то можно положение плоской фигуры задавать, задавая координаты точек А и В.

Рассмотрим два положения плоской фигуры (I и II) в моменты времени и (два положения отрезка ). Отрезок из первого положения во второе ( ) можно перевести (рис.11.2), если сначала поступательно переместить отрезок, взяв за полюс точку А, а затем повернуть отрезок вокруг точки на угол (получим отрезок ).

(t)

B₀

₂

I

A₀

A

Рис.11.2

То же самое получим, если взять за ориентир (за полюс) точку В: поступательно переместим отрезок , а затем повернем его на угол вокруг точки . Замечаем, что (угол поворота от выбора полюса не зависит).

Устремляя к нулю, получим следующий результат: плоское движение можно рассматривать как два одновременно происходящих движения: поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса (вокруг оси, проходящей через полюс и перпендикулярной к плоскости ), при этом и от выбора полюса не зависят.

Следовательно, можно задавать положение отрезка на плоскости тремя координатами: линейными - и и угловой - (рис.11.3). Отсюда получаем три уравнения плоского движения тела:

; ; ,

к оторые позволяют определять скорость и ускорение полюса А и угловую скорость и угловое ускорение плоской фигуры, используя уже известные формулы.

Рис.11.3

Но чтобы определить скорость любой точки другой точки плоской фигуры, необходимо знать теорему о скоростях точек плоской фигуры.

Т еорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме двух скоростей: скорости полюса и скорости этой точки во вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса , т.е. (обозначение полюса принято ставить на первое место в индексе второго слагаемого).

Приведем доказательство, задавая скорость , угловую скорость плоской фигуры и длину отрезка АВ (рис.11.4).

Рис.11.4

Так как , а , то, дифференцируя по времени ( зависит от при движении плоской фигуры), получим: , что дает , где - скорость точки во вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса А (при этом ). Теорема доказана.

При решении задач используются следствия этой теоремы.

Первое следствие: при движении плоской фигуры проекции скоростей точек одного и того же отрезка прямой на ось, проходящую по этому отрезку, равны.

Действительно, , но , поэтому , отсюда и получаем .

Второе следствие: концы векторов скоростей точек одного и того же отрезка прямой лежат на одной прямой линии и делят отрезок этой прямой на части, пропорциональные отрезкам на исходной прямой (рис.11.5).

Рис.11.5

Так как скорости точек В и С определяются с учетом скоростей этих точек во вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса А, а эти скорости пропорциональны расстояниям от точек В и С до полюса, то и получаем сформулированный выше результат .

При определении скоростей точек плоской фигуры часто пользуются понятием мгновенного центра скоростей. Это такая точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Если такую точку Р принять за полюс, то скорость любой другой точки плоской фигуры В определяется как скорость точки В во вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса Р: , но , следовательно, , а , при этом .

В этом практическая ценность мгновенного центра скоростей.

Итак, скорости точек плоской фигуры легко определить с помощью мгновенного центра скоростей: , , , откуда следует, что скорости точек пропорциональны их расстояниям до полюса и векторы скоростей перпендикулярны к соответствующим отрезкам ВР, СР или DР (рис.11.6).