Материал: Источник теоретического материала

Рис.11.6

Как же определить положение мгновенного центра скоростей? Есть различные способы. Рассмотрим их.

Если даны скорость полюса и угловая скорость плоской фигуры , то расстояние от полюса до мгновенного центра скоростей определяется по формуле

. (_*)

Мгновенный центр скоростей находится на отрезке прямой, перпендикулярной к скорости полюса, на расстоянии от полюса, определяемом по формуле (_*).

Д ействительно, в этом случае и лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны (см.рис.11.7), причем (отрезок АР надо, естественно, отложить под углом 90⁰ к вектору , откладывая угол в направлении угловой скорости ) (см.круговую стрелку ).

Если угловая скорость плоской фигуры неизвестна, но дана скорость одной точки и известно направление скорости другой точки, то мгновенный центр скоростей можно найти как точку пересечения перпендикуляров к скоростям точек А и В (рис.11.7).

Рис.11.7

Если известны скорости и двух точек одного отрезка и они параллельны и перпендикулярны отрезку АВ, то мгновенный центр скоростей находится на пересечении линии, соединяющей концы векторов скоростей и прямой, проведенной вдоль отрезка АВ (рис.11.8) или находится в бесконечности (не существует), если (угловая скорость плоской фигуры в последнем случае равна нулю).

Рис.11.8

Если скорости произвольно выбранных точек плоской фигуры геометрически равны в данный момент времени, то мгновенный центр скоростей не существует и угловая скорость плоской фигуры в этот момент времени равна нулю.

Если известно, что плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой или прямой линии, то мгновенный центр скоростей находится в точке соприкосновения двух тел (рис.11.9).

Рис.11.9

Определение ускорений точек плоской фигуры

Определение ускорений точек плоской фигуры

Для определения ускорений точек плоской фигуры используется теорема об ускорениях точек: ускорения любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса.

Приведем доказательство этой теоремы ; , но (по формуле Эйлера), поэтому , следовательно,

.

Окончательно,

, т.е. ,

т.к. (рис.12.1).

Теорема доказана.

Рис.12.1

У этой теоремы есть два следствия.

П ервое следствие: проекция ускорения точки В на ось, проходящую через отрезок АВ, всегда меньше, (в крайнем случае равна) проекции ускорения полюса – точки А на эту же ось (рис.12.2).

Рис.12.2

Из рисунка видно, что равенство проекций возможно только в момент, когда , а .

Второе следствие: концы векторов ускорений точек А, В и С одного и того же отрезка лежат на одной прямой и делят отрезок ab этой прямой на части ас и bc, пропорциональные отрезкам АС и ВС на исходном отрезке АВ (рис.12.2). Это утверждение справедливо потому, что ускорение точек и пропорциональны расстояниям от точек В и С до полюса А.

Ускорение любой точки плоской фигуры можно определять с помощью мгновенного центра ускорений – точки плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. В этом случае, если известны угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры, ускорение произвольно выбранной точки В: , если (точка Q – мгновенный центр ускорений), то . Т.е. ускорение точки В равно геометрической сумме центростремительного и вращательного ускорений точки во вращательном движении плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений.

На рис.12.3 показаны эти ускорения, при этом ( - угол между ускорением и отрезком BQ, этот угол отложен от ускорения в направлении углового ускорения (см. круговую стрелку ).

Т олько в этом случае (по теореме об ускорениях точек плоской фигуры) и , что дает (точка Q действительно мгновенный центр ускорений в данный момент времени, для которого и имеют конкретные числовые значения).

Так как , , то можно утверждать, что ускорения точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений.

Рис.12.3

Р азличные варианты положения мгновенного центра ускорений показаны на рис.12.4.

Рис.12.4

Лекция 14

Сферическое движение тела

Сферическое движение тела

Сферическим называется движение тела, у которого одна точка неподвижна. В этом случае любая точка тела, кроме неподвижной, при движении остается на поверхности сферы, радиус которой равен расстоянию от этой точки до неподвижной точки.

П оложение тела с одной неподвижной точкой относительно неподвижных прямоугольных координатных осей , и (см.рис.13.1) определяется с помощью углов Эйлера: - угол нутации (откладывается от оси в сторону оси (прямоугольные оси , , жестко связаны с телом и непрерывно движутся вместе с ним), - угол прецессии (откладывается от оси в сторону линии узлов , которая получается в результате пересечения наклонной плоскости , с горизонтальной плоскостью , ), - угол собственного вращения (откладывается от линии узлов в сторону оси ).

Рис.13.1

Нутация – кивание (ось то приближается к оси , то удаляется от нее), прецессия – предшествование (название взято из астрономии, день весеннего или осеннего равноденствия каждый год наступает чуть раньше, чем в прошлом году, для нас практически это незаметно и неощутимо), собственное вращение – вращение тела вокруг его оси симметрии , которая перпендикулярна к плоскости угла .

При движении тела все три угла изменяются с течением времени, таким образом, получаем три уравнения сферического движения:

, , .

Если из трех углов изменяется только угол , то тело вращается вокруг неподвижной оси – вокруг линии . Угловая скорость этого вращения , вектор направляется по линии узлов (см.рис.13.1 при ).

Если из трех углов изменяется только угол , то тело вращается вокруг неподвижной оси – вокруг линии . Угловая скорость этого вращения , вектор направляется по оси (на рис.13.1 при ).

Если из трех углов изменяется только угол , то тело вращается вокруг неподвижной оси – вокруг линии и угловая скорость этого вращения . Вектор направляется по оси (на рис.13.1 при ).