Материал: Источник теоретического материала

где - координаты точки относительно подвижной системы , связанной с телом , поэтому

. (_*)

Рассмотрим движение точки при , тогда

(получаем скорость точки тела , с которой совпадает точка , не участвующая в относительном движении).

Рис.15.3

Теперь положим (тело неподвижно). Получим

,

т.е. относительную скорость (переносного движения нет). Следовательно, в общем случае , когда происходят одновременно два движения – переносное и относительное.

Теорема доказана.

Теорема о сложении ускорений

Абсолютное ускорение точки в ее сложном движении равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и ускорения Кориолиса

.

Докажем эту теорему, зная уравнения переносного движения (движения тела ) и уравнения относительного движения точки , которые позволяют определить все три ускорения, а затем и абсолютное ускорение точки .

Так как , то, используя формулу (_*), получим:

.

(_**)

Если , то (точка не участвует в относительном движении).

Если , то (переносное движение – движение тела либо отсутствует , либо поступательное ).

Замечаем, что и в первом и во втором случаях удвоенная скобка в уравнении (_**) исчезает. Однако, в случае двух одновременно происходящих движений:

.

Появляется дополнительное ускорение, названное ускорением Кориолиса, в честь открывшего это ускорение французского ученого Кориолиса (это ускорение иногда называют «поворотным» по предложению российского ученого Сомова).

Итак,

,

что и требовалось доказать.

Ускорение Кориолиса определяется формулой: , что следует из того, что

; и ,

где - вектор угловой скорости тела (в сферическом движении тела – вектор мгновенной угловой скорости), а (относительная скорость).

Модуль вектора определяем формулой

,

откуда видно, что ускорение Кориолиса действительно равно нулю при поступательном переносном движении , а также в тот момент, когда в относительном движении скорость и когда векторы и параллельны.

Н.Е.Жуковский сформулировал правило для определения направления вектора : вектор проектируется на плоскость, перпендикулярную вектору , полученная проекция поворачивается в этой плоскости на угол 90⁰ в направлении, соответствующем направлению угловой скорости - получаем направление вектора ускорения Кориолиса (рис.15.4).

Рис.15.4

Сложное движение тела. Сложение скоростей и ускорений тела при поступательных движениях тела. Сложение угловых скоростей и угловых ускорений составляющих вращений тела вокруг пересекающихся осей

Сложное движение тела

Сложение скоростей и ускорений тела при поступательных движениях тела

Если тело одновременно участвует в двух или нескольких движениях, то в результате получаем сложное движение тела относительно конкретной неподвижной системы отсчета. Если составляющие движения тела – поступательные, то на основании теоремы о сложении скоростей и ускорений абсолютная скорость тела равна геометрической сумме скоростей составляющих движений, а абсолютное ускорение тела равно геометрической суме ускорений составляющих движений (рис.16.1).

; ,

где - число одновременно происходящих движений.

Рис.16.1

Сложное движение тела в этом случае – поступательное, т.к. скорости (и ускорения) точек тела в каждый момент времени геометрически равны.

Сложение угловых скоростей и угловых ускорений составляющих вращений тела вокруг пересекающихся осей

Если тело одновременно участвует в двух или нескольких вращательных движениях вокруг осей, пересекающихся в одной точке, то сложное движение тела относительно неподвижной системы отсчета становится сферическим (точка пересечения осей неподвижна). Мгновенная угловая скорость тела в этом случае равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращений: .

М гновенное угловое ускорение: , т.е. равно геометрической сумме угловых ускорений составляющих вращений: .

Покажем это на примере двух одновременно происходящих вращений тела вокруг пересекающихся осей (рис.16.2).

Абсолютная скорость точки :

,

Рис.16.2

где - скорость точки во вращательном движении тела вокруг оси (примем это вращение за переносное движение), - скорость точки во вращательном движении тела вокруг оси (примем это вращение за относительное движение): и ,

тогда , где - мгновенная абсолютная угловая скорость тела в сложном – сферическом движении тела.

Таким образом, получаем

и , или

(мгновенное угловое ускорение тела в сферическом движении).

Сложение угловых скоростей и угловых ускорений составляющих вращений тела вокруг параллельных осей.

Сложение угловых скоростей и угловых ускорений составляющих вращений тела вокруг параллельных осей

Если тело одновременно вращается вокруг двух или нескольких параллельных осей, то по отношению к неподвижной системе отсчета оно совершает плоское движение.

Как известно из теории плоского движения одна из главных характеристик тела в этом случае – абсолютная угловая скорость. Как же определить угловую скорость тела (и угловое ускорение)?

Р ассмотрим случай одновременного вращения тела вокруг двух параллельных осей и (см.рис.17.1).

Рис.17.1

Можно представить себе глобус, вращающийся вокруг оси симметрии , которая, в свою очередь, вращается вокруг неподвижной оси подставки .

Таким образом, получим два одновременных вращения тела вокруг параллельных осей с угловыми скоростями и . Примем вращение тела вокруг оси за переносное движение, а вращение тела вокруг оси за относительное движение.

Относительная скорость точки , лежащей на оси , равна нулю.

Поэтому можно назвать точку мгновенным центром скоростей плоской фигуры , связанной с телом, в относительном ее движении (плоская фигура получена в результате сечения тела горизонтальной плоскостью ), а точка - мгновенным центром скоростей плоской фигуры в ее переносном движении.

Итак,

и .

Д адим вид сверху на плоскую фигуру и найдем абсолютные скорости точек и , которые помогут найти мгновенный центр скоростей плоской фигуры в ее абсолютном движении (в плоском движении). Эту операцию проводим согласно теории плоского движения (см.рис.17.2). зная, что угловые скорости , и . Тогда скорость точки : , а скорость точки : .

Рис.17.2

Показав векторы этих скоростей, находим мгновенный центр скоростей (точку ) плоской фигуры в абсолютном ее движении относительно неподвижной системы отсчета (в плоском движении).

Теперь можно найти положение точки -

; ; ,

т.е. точка делит отрезок (расстояние между осями и ) на части, обратно пропорциональные угловым скоростям составляющих вращений.

Теперь находим абсолютную угловую скорость тела :

, откуда ,

но

и ,

отсюда

Итак, . Вектор располагается между осями составляющих вращений на расстояниях от осей, обратно пропорциональных угловым скоростям.